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https://doi.org/10.11588/diglit.34794#0007
Die Form algebraischer Integrale linearer Differentialgleichungen. (A. 11) 7
genügen, in weicher Yi und Yg rationale Funktionen von x, y^, yg, yg
sind. Da aber dann für die zwei Lösungen Ui und Ug, welche
Fundamentalintegrale sind,
y Y^dx
u^Ug — UgUi = ce
eine algebraische Funktion, also nach dem AßELschen Satze über
die durch Logarithmen algebraischer Funktionen ausdrückbaren
Integrale
ist, worin R eine rationale Funktion bedeutet, so können wir zu-
nächst aus der u-Gleichung den mit Adj ungierung von x, y^, Vg, y3
und w' irreduktibeln Faktor absondern, der die Lösung Ui hat,
und es wird dann — da wir wieder den Fall der binomischen
Gleichung, also auch den der rationalen Ausdrückbarkeit von Ui
durch die bczeichneten Größen ausschließen dürfen -—- mindestens
noch eine Lösung des irreduktibeln Faktors existieren, welche
mit Ui ein Fundamontalsystem bildet, und die wir jetzt wieder Ug
nennen wollen. Wir erhalten somit Ui und Ug als Lösungen einer
mit Adjungierung von x, yi, yg, y3, w' irreduktibeln Gleichung,
deren sämtliche Lösungen die oben aufgestellte Differential-
gleichung 2*er Ordnung befriedigen, und von welchen Ui und Ug
als Fundamentalintegrale durch die Beziehung miteinander ver-
bunden sind
Es ist somit Ug wiederum nach dem AßELSchen Satze eine
rationale Funktion von Ui, deren Koeffizienten rational aus
x, Yi, Y2! Y3; 'w' zusammengesetzt sind, so daß die u-Gleichung den
Charakter einer ABEL sehen Gleichung besitzt; die Untersuchung
über die Form der Auflösung dieser Gleichung ist aber in meiner
Arbeit über die algebraischen Integrale der linearen Differential-
gleichungen Ordnung^) näher ausgeführt worden.
s) „Uber den ABELschen Fundamentalsatz der Integralrechnung II."
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften. Jahr-
gang 1915. 6. Abhandlung.
genügen, in weicher Yi und Yg rationale Funktionen von x, y^, yg, yg
sind. Da aber dann für die zwei Lösungen Ui und Ug, welche
Fundamentalintegrale sind,
y Y^dx
u^Ug — UgUi = ce
eine algebraische Funktion, also nach dem AßELschen Satze über
die durch Logarithmen algebraischer Funktionen ausdrückbaren
Integrale
ist, worin R eine rationale Funktion bedeutet, so können wir zu-
nächst aus der u-Gleichung den mit Adj ungierung von x, y^, Vg, y3
und w' irreduktibeln Faktor absondern, der die Lösung Ui hat,
und es wird dann — da wir wieder den Fall der binomischen
Gleichung, also auch den der rationalen Ausdrückbarkeit von Ui
durch die bczeichneten Größen ausschließen dürfen -—- mindestens
noch eine Lösung des irreduktibeln Faktors existieren, welche
mit Ui ein Fundamontalsystem bildet, und die wir jetzt wieder Ug
nennen wollen. Wir erhalten somit Ui und Ug als Lösungen einer
mit Adjungierung von x, yi, yg, y3, w' irreduktibeln Gleichung,
deren sämtliche Lösungen die oben aufgestellte Differential-
gleichung 2*er Ordnung befriedigen, und von welchen Ui und Ug
als Fundamentalintegrale durch die Beziehung miteinander ver-
bunden sind
Es ist somit Ug wiederum nach dem AßELSchen Satze eine
rationale Funktion von Ui, deren Koeffizienten rational aus
x, Yi, Y2! Y3; 'w' zusammengesetzt sind, so daß die u-Gleichung den
Charakter einer ABEL sehen Gleichung besitzt; die Untersuchung
über die Form der Auflösung dieser Gleichung ist aber in meiner
Arbeit über die algebraischen Integrale der linearen Differential-
gleichungen Ordnung^) näher ausgeführt worden.
s) „Uber den ABELschen Fundamentalsatz der Integralrechnung II."
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften. Jahr-
gang 1915. 6. Abhandlung.