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https://doi.org/10.11588/diglit.34794#0010
10 (A. 11)
L. Koenigsberger:
W "substituiert wird, Integrale der Differentialgleichung liefern.
Dieselben Schlüsse, wie die für eine Differentialgleichung 2ter Ord-
nung benutzten, führen dann zu dem Resultate, daß der Grad
der binomischen Gleichungen im allgemeinen der dritte sein wird.
Schließt man nämlich, wie dort, den Fall aus, daß die rechten Seiten
der binomischen Gleichungen nur aus einem Posten der Form
bestehen
gg(x,Yi,y2,Y3)^i
so folgt, wenn eine der Lösungen der binomischen Gleichung
w" = ^(x,yi,Y2,Y3,7]W)
mit Wg bezeichnet wird, der Gleichung (12) analog
u^^ Pi(x,yi,y2,yg,W) ,
oder, weil
Wg = CiUi + CgVi + C3W1
ist, vermöge (12), wie leicht zu sehen,
UlVi, U^Wi, v^, v^Wi, w^, w^
als rationale Funktionen von x, yi, yg, yg, Wi und somit entspre-
chend aus
Ui (xui + ßly + ywi) (aui + biy + cw^) = P2(x,yi,y2,Yg,W)
u^, v^, w^ als rationale Funktionen von x, yi, yg, yg, W. Der
Grad der als irreduktibel vorausgesetzten binomischen Gleichungen
ist somit im allgemeinen der dritte.
Unterscheiden sich jedoch die Lösungen der drei Gleichungen
(10) nicht nur um multiplikatorische Konstanten, sind diese also
nicht binomische, so können wir, wenn wir noch den Fall aus-
schließen, daß die drei algebraischen Fundamentalintegrale als
Lösungen einer algebraischen Gleichung angehören, annehmen, daß
zwei Integrale Ui und Ug der u-Gleichung genügen, während Vioder
W] oder beide wieder die Lösungen binomischer Gleichungen sein
können. In diesem Falle werden Ui, Ug, Vj oder Ui, Ug, Wi ein Funda-
mentalsystem algebraischer Integrale bilden, da sich sonst aus den
Gleichungen
Ug = K + ß ly , Ug = Ki Ui + ßi Wi
gegen die Voraussetzung die lineare Relation
L. Koenigsberger:
W "substituiert wird, Integrale der Differentialgleichung liefern.
Dieselben Schlüsse, wie die für eine Differentialgleichung 2ter Ord-
nung benutzten, führen dann zu dem Resultate, daß der Grad
der binomischen Gleichungen im allgemeinen der dritte sein wird.
Schließt man nämlich, wie dort, den Fall aus, daß die rechten Seiten
der binomischen Gleichungen nur aus einem Posten der Form
bestehen
gg(x,Yi,y2,Y3)^i
so folgt, wenn eine der Lösungen der binomischen Gleichung
w" = ^(x,yi,Y2,Y3,7]W)
mit Wg bezeichnet wird, der Gleichung (12) analog
u^^ Pi(x,yi,y2,yg,W) ,
oder, weil
Wg = CiUi + CgVi + C3W1
ist, vermöge (12), wie leicht zu sehen,
UlVi, U^Wi, v^, v^Wi, w^, w^
als rationale Funktionen von x, yi, yg, yg, Wi und somit entspre-
chend aus
Ui (xui + ßly + ywi) (aui + biy + cw^) = P2(x,yi,y2,Yg,W)
u^, v^, w^ als rationale Funktionen von x, yi, yg, yg, W. Der
Grad der als irreduktibel vorausgesetzten binomischen Gleichungen
ist somit im allgemeinen der dritte.
Unterscheiden sich jedoch die Lösungen der drei Gleichungen
(10) nicht nur um multiplikatorische Konstanten, sind diese also
nicht binomische, so können wir, wenn wir noch den Fall aus-
schließen, daß die drei algebraischen Fundamentalintegrale als
Lösungen einer algebraischen Gleichung angehören, annehmen, daß
zwei Integrale Ui und Ug der u-Gleichung genügen, während Vioder
W] oder beide wieder die Lösungen binomischer Gleichungen sein
können. In diesem Falle werden Ui, Ug, Vj oder Ui, Ug, Wi ein Funda-
mentalsystem algebraischer Integrale bilden, da sich sonst aus den
Gleichungen
Ug = K + ß ly , Ug = Ki Ui + ßi Wi
gegen die Voraussetzung die lineare Relation