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https://doi.org/10.11588/diglit.34794#0013
Die Form algebraischer Integrale linearer Differentialgleichungen. (A. 11) 13
gesetzt war, die Untersuchung der Gleichung (18) somit durch
die in der bezeichneten Arbeit angestellten Betrachtungen erledigt
sein — die Werte von U2 und U3 folgen dann aus der Gleichung (14).
Wir haben somit nur noch den Fall 4. unter der Annahme
zu untersuchen, daß die drei algebraischen Fundamentalintegrale
t^, Ug, U3 ein und derselben, mit Adjungierung von x, y^, Vg, yg, W
irreduktibeln algebraischen Gleichung (13) angehören, und die
Differentialgleichung 3^ Ordnung kein in den bezeichneten Größen
rationales Integral besitzt — es werden dann sämtliche Lösungen
der Gleichung homogene lineare Funktionen von Ui, Ug, U3 mit kon-
stanten Koeffizienten sein müssen.
Setzt man wieder
u = Ui / z d x
in die Differentialgleichung 3^r Ordnung ein, so ergibt sich die
Differentialgleichung 2^r Ordnung (15), für welche ein Fundamental-
system algebraischer Integrale Zi und Zg durch die Gleichungen (17)
dargestellt wird, in denen Ui eine algebraische, nicht, wie dort,
rationale Funktion von x, Vj, yg, y3, W ist. Sind nun Zi und Zg,
wie nach den obigen Auseinandersetzungen angenommen werden
darf, zwei Lösungen der mit Adjungierung von x, yi, yg, yg, W, Ui
irreduktibeln algebraischen Gleichung -— der Fall binomischer Glei-
chungen wiederum ausgeschlossen —
(20) z" + Si (x, y^ yg, yg, W, u^) z*"* + - - - + s^ (x, y^ yg, yg,W, u^ = 0 ,
so werden sämtliche Lösungen dieser Gleichung der linearen Dif-
ferentialgleichung 2ter Ordnung (15) genügen, und wieder nach dem
ABELschen Satze sich Zg als rationale Funktion von Zi ergeben
mit Koeffizienten, welche rational aus x, yi, y2, y3, W", Ui zusam-
mengesetzt sind.
Da sich nun aber zufolge der Beziehungen
Zgdx
Ug und U3 als Funktionen von demselben Charakter in der Form
Ug - R2(x,yi,yg,ys,W,Ui,Zi), Ug = Rg(x,yi,yg,y3,W,Ui,Zg)
darstellen, worin Rg und Rg rationale Funktionen bedeuten, ferner
Zg rational in z^, und z^ vermöge (17) rational in Ui und Ug aus-
drückbar ist, so folgt, daß
gesetzt war, die Untersuchung der Gleichung (18) somit durch
die in der bezeichneten Arbeit angestellten Betrachtungen erledigt
sein — die Werte von U2 und U3 folgen dann aus der Gleichung (14).
Wir haben somit nur noch den Fall 4. unter der Annahme
zu untersuchen, daß die drei algebraischen Fundamentalintegrale
t^, Ug, U3 ein und derselben, mit Adjungierung von x, y^, Vg, yg, W
irreduktibeln algebraischen Gleichung (13) angehören, und die
Differentialgleichung 3^ Ordnung kein in den bezeichneten Größen
rationales Integral besitzt — es werden dann sämtliche Lösungen
der Gleichung homogene lineare Funktionen von Ui, Ug, U3 mit kon-
stanten Koeffizienten sein müssen.
Setzt man wieder
u = Ui / z d x
in die Differentialgleichung 3^r Ordnung ein, so ergibt sich die
Differentialgleichung 2^r Ordnung (15), für welche ein Fundamental-
system algebraischer Integrale Zi und Zg durch die Gleichungen (17)
dargestellt wird, in denen Ui eine algebraische, nicht, wie dort,
rationale Funktion von x, Vj, yg, y3, W ist. Sind nun Zi und Zg,
wie nach den obigen Auseinandersetzungen angenommen werden
darf, zwei Lösungen der mit Adjungierung von x, yi, yg, yg, W, Ui
irreduktibeln algebraischen Gleichung -— der Fall binomischer Glei-
chungen wiederum ausgeschlossen —
(20) z" + Si (x, y^ yg, yg, W, u^) z*"* + - - - + s^ (x, y^ yg, yg,W, u^ = 0 ,
so werden sämtliche Lösungen dieser Gleichung der linearen Dif-
ferentialgleichung 2ter Ordnung (15) genügen, und wieder nach dem
ABELschen Satze sich Zg als rationale Funktion von Zi ergeben
mit Koeffizienten, welche rational aus x, yi, y2, y3, W", Ui zusam-
mengesetzt sind.
Da sich nun aber zufolge der Beziehungen
Zgdx
Ug und U3 als Funktionen von demselben Charakter in der Form
Ug - R2(x,yi,yg,ys,W,Ui,Zi), Ug = Rg(x,yi,yg,y3,W,Ui,Zg)
darstellen, worin Rg und Rg rationale Funktionen bedeuten, ferner
Zg rational in z^, und z^ vermöge (17) rational in Ui und Ug aus-
drückbar ist, so folgt, daß