Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

12(A.12)

L. Koenigsberger:

also rationale Funktionen von x und z, und die sämtlichen übrigen
Integrale der RiccATischen Differentialgleichung (1) algebraische,
durch xvte Wurzeln darstellbare Funktionen von der Form
ra (x,z)
D (x,z)

worin c die willkürliche Integrationskonstante bedeutet.
Bilden jedoch die Elemente Ui und Ug eines Fundamental-
systems algebraischer Integrale die Lösungen ein und derselben
nicht binomischen, mit Adjungierung von x, z, w irreduktibeln
algebraischen Gleichung
(12) u°" + Si (x, z,w) u'"^ + Sg (x, z,w) u'^ + - - - + (x, z,w) = 0 ,

ü (x,z)

+ c

y -

I (x,z) 'r, (x,z)

(x,z)V^

1 c

1^2 (x, z) ^
Ai (x,z) /

in welcher die s rationale Funktionen der eingeschlossenen Größen
bedeuten, so ist zunächst leicht zu sehen, daß
Si (x, z,w) = 0
sein muß; denn wäre dies nicht der Fall, so müßte, weil alle Lö-
sungen von (12) bekanntlich Integrale der Differentialgleichung
(3) sein würden, diese das in x, z, w rationale Integral besitzen
Ui + Us + Ug + - - - + Um = - Si (x, z, w) ,
und somit jedes Integral u mit diesem rationalen Integrale durch
die Gleichung verbunden sein
(13) u = asi (x,z,w) + ßsi (x,z,w) / , " y, -
A sjx,z,w)^
Da aber nach der Voraussetzung Ui und Ug, also jedes Integral
der Differentialgleichung (3) algebraisch ist, so wird nach dem
ÄBELschen Satze über die algebraische Integration AßELscher
Integrale folgen, daß alle Integrale in x, z, w rational ausdrückbar
sind, und daß somit vermöge der Annahme der Irreduktibilität
der Grad der Gleichung (13) der erste sein müßte, während die
Gleichung die beiden Fundamentalintegrale Ui und Ug zu Lösungen
haben sollte.