Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 (A.6)

L. Koenigsberger:


so daß die binomischen Gleichungen in
(9) u* - iy (x,y, w) , v^ - rg (x,y,w)
übergehen, worin ly und iy rationale Funktionen von x, y, w sind.
Für v = l, also für den Fall, daß w in x und y rational ist,
wird das allgemeine Integral in der Form enthalten sein
X_ X_
u - Ci ]/ri (x, y) + Cg ]/Tg (x, y) ,
worin die Irrationalitäten mit Adjungierung von x und y irreduk-
tibel sind.
Anders gestaltet sich das Resultat, wenn w eine algebraische,
nicht in x und y rationale Funktion ist.
Um die Natur der mit Adj ungierung von x, y, w irreduktibeln
binomischen Gleichungen zu bestimmen, bemerke man, daß,
wenn Ug die Lösung der binomischen Gleichung
LG = iy (x, y, yw)
ist, in welcher, wenn
w = R(x,y)^ ,
7) eine Ue Einheitswurzel bedeutet, auch Ug ein Integral der Diffe-
rentialgleichung (1) ist, wie durch Substitution in diese vermöge
- = Ul (x, Y, 7)w), - - = iyg (x, y, 7] w) ,
IR ^2
worin i'n, iyg rationale Funktionen bedeuten, unmittelbar hervor-
geht. Und zwar bildet Ug mit ry im allgemeinen ein Fundamental-
system von Integralen; denn wäre dies nicht der Fall, also
U(x,y,7]w) = ciy(x,y,w) ,
oder
go(x,y) + gi(x,y)7)W + gg(x,y)7]2w3 + . . .
= c (go (x,y) + gl (x, y) W + gg (x, y) w^ + - - -) ,
*) Die Gleichheit der Gradzahlen gilt allgemein für zwei mit Adjungierung
bestimmter Elemente irreduktibler Gleichungen, wenn das Produkt einer
Lösung der einen und einer Lösung der andern Gleichung eine rationale
Funktion jener Elemente ist.