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https://doi.org/10.11588/diglit.34705#0010
10 (A. 6)
L. Koenigsberger:
U2=]/p(x,y,-/)\v)
mit u^^ ein Fundamentalsystem von Integralen der Differential-
gleichung bilden wird. Die hieraus sich ergebende Bedingung
Ci j/ P (x, y, w) + Cg ]/P(x,y,7)w) = ]/ P(x,y, ^w)
läßt nach Schlüssen, die den früheren völlig analog sind, leicht ein-
sehen, daß
P(x,y,w) = g^(x,y)w^
sein muß, und daß somit
th =l/gn(x,y)w^ - (gn(x,y)" R (x,y)^)^
ist, und daher die oben gefundene Form des Integrales
ui = (gn (x,y)"R(x,y)^)^
auch hier für x==2 bestehen bleibt.
Es möge noch bemerkt werden, daß man die Form der linearen
homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung unmittelbar
aufstellen kann, welche ein Integral Ui für x = 2 besitzt.
Da bekanntlich die Substitution
worin
y
u = w2 U ,
die Transformation liefert
u" + piu' + pgu = w- (Tp^ + Pp^- pg)Uj ,
und, wie leicht zu sehen, für eine beliebige rationale Funktion
gp, (x, y) die in der Normalform gegebene Differentialgleichung
u"-(tp!+ipAps)u = o
das Integral
U = gn(x,y)W
besitzen wird, wenn
L. Koenigsberger:
U2=]/p(x,y,-/)\v)
mit u^^ ein Fundamentalsystem von Integralen der Differential-
gleichung bilden wird. Die hieraus sich ergebende Bedingung
Ci j/ P (x, y, w) + Cg ]/P(x,y,7)w) = ]/ P(x,y, ^w)
läßt nach Schlüssen, die den früheren völlig analog sind, leicht ein-
sehen, daß
P(x,y,w) = g^(x,y)w^
sein muß, und daß somit
th =l/gn(x,y)w^ - (gn(x,y)" R (x,y)^)^
ist, und daher die oben gefundene Form des Integrales
ui = (gn (x,y)"R(x,y)^)^
auch hier für x==2 bestehen bleibt.
Es möge noch bemerkt werden, daß man die Form der linearen
homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung unmittelbar
aufstellen kann, welche ein Integral Ui für x = 2 besitzt.
Da bekanntlich die Substitution
worin
y
u = w2 U ,
die Transformation liefert
u" + piu' + pgu = w- (Tp^ + Pp^- pg)Uj ,
und, wie leicht zu sehen, für eine beliebige rationale Funktion
gp, (x, y) die in der Normalform gegebene Differentialgleichung
u"-(tp!+ipAps)u = o
das Integral
U = gn(x,y)W
besitzen wird, wenn