Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Abelschen Fundamentalsatz der Integralrechnung II. (A. 6) 11

(TP^ + yP^-Ps) gn(*,y)
- (x, y) - g g^ (x, y) Pi - M-g^ (x, y) ^ g^ (x, y) p^
ist, so folgt für die aufgestellte Bedingung des Integrales die Form
der Differentialgleichung

u" + PB'' - ^ [g[i - 2 ^.g^ Pi - gtr p^ + g^Pi] u = 0

mit dem Integrale
"i = gn(x,y)w

2v

, 1
t^+ 2

2v

g^x,yt R^x,y;

\2n + l

wofür die binomische Gleichung


2^ + 1

lautet.

Es folgt somit, daß, wenn die beiden algebraischen Fundamen-
talintegrale Ui und Vi der Differentialgleichung zwei mit Adjun-
gierung von x, y, w irreduktibeln Gleichungen genügen, in denen
keine der Lösungen mit Ui resp. Vi ein Fundamentalsystem bilden,
die Integrale Ui und Vi durch gleiche Wurzeln aus rationalen
Funktionen von x und y dargestellt sind, für welche der Index
der Wurzel = xv ist, worin x eine positive ganze Zahl und v
durch

w -


-/*Pi(x,y)dx
e

definiert ist.

Bildet jedoch eine Lösung Ug der Gleichung (5) mit Ui ein
Fundamentalsystem von Integralen, ist diese Gleichung also keine
binomische, so sei zunächst
I. Si(x,y,w) von Null verschieden.

In diesem Falle hat die Differentialgleichung das von Nult
verschiedene, in x, y, w rationale Integral

Ui + Ug + - - - + Ux = - Si (x,y,w) ,

und wir haben daher nur den Fall zu untersuchen, daß die Diffe-
rentialgleichung zweiter Ordnung zwei algebraische Fundamental-
integrale hat, von denen das eine in x, y, w rational ist.