Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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PAUL SlÄCKEL:

und es liegen daher, bei hinreichend kleinen Werten von 3 und y,
die Nullstellen der Funktion 2 von % und y auf der Kurve


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Bei der weiteren Untersuchung hat man zu unterscheiden, ob ^0
positiv, negativ oder gleich Null isth
1. Elliptischer Punkt. Ist 3go positiv, so erhält man, solange
3: von Null verschieden ist, keine reellen Nullstellen; für 3 = 0
wird y = 0 eine doppelt zählende Nullstelle. Hieraus folgt sofort
die Richtigkeit des Lehrsatzes II; um ihn zu beweisen, bedarf es
jedoch nicht des WEiERSTRAsssehen Vorbereitungssatzes, es ge-
nügt vielmehr schon der Lehrsatz I.
2. Hyperbolischer Punkt. Ist ^ negativ, so erhält man für
positives und für negatives 3 je zwei reelle Werte von y, und
zwar wird


Hieraus folgt, daß auf jedem der vier Kreisbogen (I), (II), (III), (IV)
des § 6 je eine Nullstelle hegt, und damit zV z^ez^^gdzz-zzzzzg^n^ zz^zzz.
777 zzz zzMer iSYz^ezzge detczAyezr.
3. Parabolischer Punkt. Ist ^ = 0, so möge, um die Unter-
suchung in voller Allgemeinheit zu führen, angenommen werden,
daß die Gleichung für y die Gestalt habe

y^ + (A3°V-) y + 7?3^ -t-- 0,

wo A und 7? von Null verschiedene Konstanten bezeichnen und
die ganzen Zahlen 3. > 2, ß > 3 sind. Diesem Ansatz entziehen
sich allerdings die besonderen Fälle, in denen der Koeffizient von y
oder das absolute Glied identisch verschwinden, man erkennt
jedoch leicht, daß die im folgenden abgeleiteten Sätze auch für
sie gelten.
Die Tatsache, daß y durch eine Gleichung zweiten Grades
bestimmt wird, reicht schon aus, um den er^ezz 7Az2 &.y Krgdzzzzzzzg^-
1 In der vorliegenden Abhandlung werden nur regnMre Punkte der
Fläche betrachtet. Für Punkte hat bereits R. v. LiLiENTHAL den
Weierstraßschen Vorbereitungssatz herangezogen, siehe dessen ForZesnngeya
ü&e/' zweiter Band; Flächentheorie, 1. Teil, Leipzig
1913, S.34.