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https://doi.org/10.11588/diglit.34890#0005
Der EisENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen.
(A. 5) 5
worin Lg, L^, ... io, ... den Faktor x—a nicht enthalten, so
müssen, da die Koeffizienten der y-Potenzen auf der linken Seite
dieser Gleichung durch x—a teilbar sind, auch die Koeffizienten
in dem Produkt
[L,y-''+L,y-''-' +... +L._J [!.y" + ),y'-' + ... + !,]
eben diese Eigenschaft haben. Seien nun die ersten, nicht iden-
tisch verschwindenden L- und 1-Funktionen und 1^, so müßte
der Koeffizient der höchsten in dem Produkt enthaltenen y-Potenz
durch x—a teilbar sein, also oder 1^ gegen die Voraus-
setzung verschwinden, d.h. alle Koeffizienten des ersten Klammer-
ausdrucks der Gleichung (4) durch x—a teilbar sein, da wir an-
nehmen dürfen, daß die Koeffizienten der Gleichung (2) keinen
gemeinsamen Teiler haben. Dividiert man nun die beiden Seiten
von (4) durch x—a, so daß die rechte Seite aus einem Produkt
eines Polynoms von y vom n—Grade mit in x ganzen Koeffi-
zienten und Q besteht, und wendet dieselben Schlüsse auf alle
linearen Teiler von (po*^ an, so ergibt sich die Zerlegung
(5) p = (go y ^ + gl y+ - - - + g„_„_i y + g„_„) Q,
worin go, g^, ...g„_^ ganze Funktionen von x sind, wie es der
GAUSS sehe Satz für Funktionalpolynome verlangt.
Es möge des Folgenden wegen hier noch bemerkt werden,
daß wir die Möglichkeit der Zerlegung von P in ein Produkt von
Q und einem Polynom in y, dessen Koeffizienten ganze Funktio-
nen von x sind, auch aus der Beschaffenheit der oben als not-
wendig erkannten Gleichungen
H. = 0, Hi = 0, ... H„_i = 0
herleiten können. Habe z. B. die algebraische Funktionalgleichung
P = ^+^y^+f2y + f3 = o
mit der Gleichung
Q = ?oy^+Tiy + p2 = o
eine Lösung gemein, die nicht schon einer gleichartigen Gleichung
(A. 5) 5
worin Lg, L^, ... io, ... den Faktor x—a nicht enthalten, so
müssen, da die Koeffizienten der y-Potenzen auf der linken Seite
dieser Gleichung durch x—a teilbar sind, auch die Koeffizienten
in dem Produkt
[L,y-''+L,y-''-' +... +L._J [!.y" + ),y'-' + ... + !,]
eben diese Eigenschaft haben. Seien nun die ersten, nicht iden-
tisch verschwindenden L- und 1-Funktionen und 1^, so müßte
der Koeffizient der höchsten in dem Produkt enthaltenen y-Potenz
durch x—a teilbar sein, also oder 1^ gegen die Voraus-
setzung verschwinden, d.h. alle Koeffizienten des ersten Klammer-
ausdrucks der Gleichung (4) durch x—a teilbar sein, da wir an-
nehmen dürfen, daß die Koeffizienten der Gleichung (2) keinen
gemeinsamen Teiler haben. Dividiert man nun die beiden Seiten
von (4) durch x—a, so daß die rechte Seite aus einem Produkt
eines Polynoms von y vom n—Grade mit in x ganzen Koeffi-
zienten und Q besteht, und wendet dieselben Schlüsse auf alle
linearen Teiler von (po*^ an, so ergibt sich die Zerlegung
(5) p = (go y ^ + gl y+ - - - + g„_„_i y + g„_„) Q,
worin go, g^, ...g„_^ ganze Funktionen von x sind, wie es der
GAUSS sehe Satz für Funktionalpolynome verlangt.
Es möge des Folgenden wegen hier noch bemerkt werden,
daß wir die Möglichkeit der Zerlegung von P in ein Produkt von
Q und einem Polynom in y, dessen Koeffizienten ganze Funktio-
nen von x sind, auch aus der Beschaffenheit der oben als not-
wendig erkannten Gleichungen
H. = 0, Hi = 0, ... H„_i = 0
herleiten können. Habe z. B. die algebraische Funktionalgleichung
P = ^+^y^+f2y + f3 = o
mit der Gleichung
Q = ?oy^+Tiy + p2 = o
eine Lösung gemein, die nicht schon einer gleichartigen Gleichung