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https://doi.org/10.11588/diglit.34890#0007
Der EisENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen.
(A. 5) 7
Lösung <x nur einfach besitzt, die Gleichung mit Adjungierung
rationaler Funktionen von x irreduktibel ist, folgt unmittelbar aus
der Zerlegungsform (5), die für den Fall der Reduzibilität von
P = 0 bestehen müßte. Denn, wenn
fo = 0, f^O, ...f,i_i=0mod(x—<x), f'a^E0mod(x—<x), fo^0mod(x—<x)^
ist, so folgt, da nach (5) g'o?o = ^o ist, daß entweder go oder cpQ
den Teiler x—K einfach besitzen; bringt man nun die Posten der
rechten Seite von (5), für welche die Koeffizienten der y-Potenzen
durch x—<x teilbar sind, auf die linke Seite und wendet auf die
sich so ergebende Gleichung in bekannter Weise dieselben Schlüsse
an, so folgt, daß entweder alle Funktionen go, gi,---gn—v oder
<Po, Pi, ...cpv durch x—<x teilbar sein müssen, was aber wegen
gn—v * ^
der Voraussetzung nach nicht möglich ist — also muß P=0 irre-
duzibel sein.
Um nun diese Betrachtungen auf lineare homogene Differen-
tialgleichungen auszudehnen, nehmen wir an, daß die Differential-
gleichung
(9) P = f,y'"' + +... + i,_,y' + f,y = 0 ,
in welcher fo, f^,... f^ ganze Funktionen von x sind\ mit der gleich-
artigen linearen homogenen Differentialgleichung
(10) Q = (p.y^ + (piy(^) + - - - + (pv-iY + <PW = 0
ein Integral yi gemein hat, welches nicht schon einer ebensolchen
Differentialgleichung von niedrigerer Ordnung als der Genüge
leistet, und man erhält dann, genau wie oben für algebraische
Gleichungen, die für eine beliebige Funktion y von x identische
Gleichung
* Die Ausdehnung der nachfolgenden Untersuchungen auf den Fali, daß
die Koeffizienten der Differentialgleichungen nach ganzen Potenzen von x-tx
fortschreitende Reihen sind, ist unmittelbar ersichtlich.
(A. 5) 7
Lösung <x nur einfach besitzt, die Gleichung mit Adjungierung
rationaler Funktionen von x irreduktibel ist, folgt unmittelbar aus
der Zerlegungsform (5), die für den Fall der Reduzibilität von
P = 0 bestehen müßte. Denn, wenn
fo = 0, f^O, ...f,i_i=0mod(x—<x), f'a^E0mod(x—<x), fo^0mod(x—<x)^
ist, so folgt, da nach (5) g'o?o = ^o ist, daß entweder go oder cpQ
den Teiler x—K einfach besitzen; bringt man nun die Posten der
rechten Seite von (5), für welche die Koeffizienten der y-Potenzen
durch x—<x teilbar sind, auf die linke Seite und wendet auf die
sich so ergebende Gleichung in bekannter Weise dieselben Schlüsse
an, so folgt, daß entweder alle Funktionen go, gi,---gn—v oder
<Po, Pi, ...cpv durch x—<x teilbar sein müssen, was aber wegen
gn—v * ^
der Voraussetzung nach nicht möglich ist — also muß P=0 irre-
duzibel sein.
Um nun diese Betrachtungen auf lineare homogene Differen-
tialgleichungen auszudehnen, nehmen wir an, daß die Differential-
gleichung
(9) P = f,y'"' + +... + i,_,y' + f,y = 0 ,
in welcher fo, f^,... f^ ganze Funktionen von x sind\ mit der gleich-
artigen linearen homogenen Differentialgleichung
(10) Q = (p.y^ + (piy(^) + - - - + (pv-iY + <PW = 0
ein Integral yi gemein hat, welches nicht schon einer ebensolchen
Differentialgleichung von niedrigerer Ordnung als der Genüge
leistet, und man erhält dann, genau wie oben für algebraische
Gleichungen, die für eine beliebige Funktion y von x identische
Gleichung
* Die Ausdehnung der nachfolgenden Untersuchungen auf den Fali, daß
die Koeffizienten der Differentialgleichungen nach ganzen Potenzen von x-tx
fortschreitende Reihen sind, ist unmittelbar ersichtlich.