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https://doi.org/10.11588/diglit.34890#0009
Der EisENsiEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen.
(A. 5) 9
sie kein Integral mit einer gleichartigen linearen Differentialglei-
chung niederer Ordnung gemein hat, so gilt bekanntlich der Satz,
daß, wenn eines ihrer Integrale einer gleichartigen linearen Diffe-
rentialgleichung höherer Ordnung angehört, auch alle ihre Inte-
grale dieser letzteren Differentialgleichung genügen werden; soll
jedoch eine lineare Differentialgleichung als irreduktibel bezeich-
net werden, wenn sie überhaupt nur ein Integral besitzt, welches
nicht einer gleichartigen Differentialgleichung niederer Ordnung
genügt, so folgt aus der obigen Darstellung (11), daß, wenn dieses
Integral einer gleichartigen linearen Differentialgleichung höherer
Ordnung genügt, ebenfalls auch alle Integrale jener derart definier-
ten irreduktibeln Differentialgleichung Integrale der letzteren sind.
So hat z.B. die lineare Differentialgleichung dritter Ordnung
(12) P = (4x3-2x + 2)y'"-(8x3+10x)y"+(8x3-4x2+12x-2)y'==0
mit der Differentialgleichung zweiter Ordnung
(13) Q = (2x — l)y" —(4xW l)y' + (4x^ —2x + 2)y = 0
das Integral
Yi-e^ + e
gemein, welches nicht schon einer linearen Differentialgleichung
erster Ordnung mit in x rationalen Koeffizienten genügt, und es
werden somit alle Integrale von (13), die sämtlich in der Form
y = Cie^ + C2e*
enthalten sind, auch der Gleichung (12) angehören, wiewohl das
Integral e^ der ersteren schon der linearen Differentialgleichung
erster Ordnung y'—y = 0 angehört, diese also im ersteren Sinne
nicht irreduktibel ist.
Wir werden die zweite der oben für die Irreduktibilität einer
linearen Differentialgleichung gegebenen Definitionen der Kürze
des Ausdrucks wegen im folgenden beibehalten.
Daß sich nicht, wie oben bei der Erweiterung des GAUssschen
Satzes auf algebraische Funktionen, für lineare Differentialgleichun-
gen allgemein aus der Gleichung (11) P als lineare Funktion von
Q und dessen Ableitungen ergeben wird mit Koeffizienten, welche
(A. 5) 9
sie kein Integral mit einer gleichartigen linearen Differentialglei-
chung niederer Ordnung gemein hat, so gilt bekanntlich der Satz,
daß, wenn eines ihrer Integrale einer gleichartigen linearen Diffe-
rentialgleichung höherer Ordnung angehört, auch alle ihre Inte-
grale dieser letzteren Differentialgleichung genügen werden; soll
jedoch eine lineare Differentialgleichung als irreduktibel bezeich-
net werden, wenn sie überhaupt nur ein Integral besitzt, welches
nicht einer gleichartigen Differentialgleichung niederer Ordnung
genügt, so folgt aus der obigen Darstellung (11), daß, wenn dieses
Integral einer gleichartigen linearen Differentialgleichung höherer
Ordnung genügt, ebenfalls auch alle Integrale jener derart definier-
ten irreduktibeln Differentialgleichung Integrale der letzteren sind.
So hat z.B. die lineare Differentialgleichung dritter Ordnung
(12) P = (4x3-2x + 2)y'"-(8x3+10x)y"+(8x3-4x2+12x-2)y'==0
mit der Differentialgleichung zweiter Ordnung
(13) Q = (2x — l)y" —(4xW l)y' + (4x^ —2x + 2)y = 0
das Integral
Yi-e^ + e
gemein, welches nicht schon einer linearen Differentialgleichung
erster Ordnung mit in x rationalen Koeffizienten genügt, und es
werden somit alle Integrale von (13), die sämtlich in der Form
y = Cie^ + C2e*
enthalten sind, auch der Gleichung (12) angehören, wiewohl das
Integral e^ der ersteren schon der linearen Differentialgleichung
erster Ordnung y'—y = 0 angehört, diese also im ersteren Sinne
nicht irreduktibel ist.
Wir werden die zweite der oben für die Irreduktibilität einer
linearen Differentialgleichung gegebenen Definitionen der Kürze
des Ausdrucks wegen im folgenden beibehalten.
Daß sich nicht, wie oben bei der Erweiterung des GAUssschen
Satzes auf algebraische Funktionen, für lineare Differentialgleichun-
gen allgemein aus der Gleichung (11) P als lineare Funktion von
Q und dessen Ableitungen ergeben wird mit Koeffizienten, welche