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https://doi.org/10.11588/diglit.34890#0011
Der EiSENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen. (A. 5) 11
Gn-v(*)
To"^
in x ganz sein muß, sich auch
G(x) G(x)
G(x)
To
Tu
To
G(i
To
T:;
als ganze Funktionen von x ergeben, oder es müßten, wenn N der
größte gemeinsame Teiler von G(x) und % ist,
G(x) G(x)
Tn
G(x)
N
N
To
To
Ts'
To
N
N
N
ganze Funktionen von x sein. Da aber - und ^ relativ prim
sind, so würden <pi, (pg, . ..^ den gemeinsamen Teiler -y haben,
also cpo, .--Tv einen gemeinsamen Teiler besitzen, welcher Fall
für die Differentialgleichung Q = 0 ausgeschlossen werden durfte;
es muß somit
G(x) ^ G._„(x)
To
eine ganze Funktion von x sein.
Habe nun, um die Untersuchung zunächst an dem einfachsten
Falle durchzuführen, die Differentialgleichung
P = foy"+fiy"+^y+^y = o
mit der Differentialgleichung
Q = Toy"+Tiy'+Tsy = o
ein Integral gemein, welches nicht schon einer linearen Differen-
tialgleichung erster Ordnung mit in x ganzen Koeffizienten ge-
nügt, so ergibt sich nach (ll) die identische Zerlegung
(14)
ToP"To^oQ+(To^i ^o(To+Ti))Q
Gn-v(*)
To"^
in x ganz sein muß, sich auch
G(x) G(x)
G(x)
To
Tu
To
G(i
To
T:;
als ganze Funktionen von x ergeben, oder es müßten, wenn N der
größte gemeinsame Teiler von G(x) und % ist,
G(x) G(x)
Tn
G(x)
N
N
To
To
Ts'
To
N
N
N
ganze Funktionen von x sein. Da aber - und ^ relativ prim
sind, so würden <pi, (pg, . ..^ den gemeinsamen Teiler -y haben,
also cpo, .--Tv einen gemeinsamen Teiler besitzen, welcher Fall
für die Differentialgleichung Q = 0 ausgeschlossen werden durfte;
es muß somit
G(x) ^ G._„(x)
To
eine ganze Funktion von x sein.
Habe nun, um die Untersuchung zunächst an dem einfachsten
Falle durchzuführen, die Differentialgleichung
P = foy"+fiy"+^y+^y = o
mit der Differentialgleichung
Q = Toy"+Tiy'+Tsy = o
ein Integral gemein, welches nicht schon einer linearen Differen-
tialgleichung erster Ordnung mit in x ganzen Koeffizienten ge-
nügt, so ergibt sich nach (ll) die identische Zerlegung
(14)
ToP"To^oQ+(To^i ^o(To+Ti))Q