Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der EiSENSTEiNsche Satz für iineare Differentialgleichungen. (A. 5) 13

a^y, cpo=2x-l, ?i=-(4x^+l), also ?()+?i=-(4x^-l) = 0mod(x—^-),
der Fall ist. Kommen Lösungen von der Beschaffenheit der
ai,bi,... in % nicht vor, so wird stets fo durch % teilbar, also P
mit in x ganzen Koeffizienten zerlegbar sein. Daß aber auch,
wenn <pQ + <pi = 0mod(x—aj ist, zugleich fp durch x—a^ teilbar sein
kann, sich also auch P mit in x ganzen Koeffizienten zerlegen lassen
kann, zeigt das Beispiel
xy'" + x^ y" + x y' - y = (x y" + (x^ -1) y - x y).
dx ^
Enthält
2) % den Faktor (x—x)^, cpi den Faktor (x—x)^,
worin x.>1,. p>l, und ist somit (p2^0mod(x—<x), so liefert die
direkte Untersuchung von
(x-x)^G.P = Go-^-[(x-a^-goy' + (x-x^g^y+ggy]
+ Gi[(x-x^goy"+(x-x)^giy+ggy] ,
worin G, Go, Gi, go,gi, gg ganze Funktionen von x, und G,go,gi, gs
^Omod (x—x) sind, für die Koeffizienten von y"', y", y\ y auf der
rechten Seite dieser Gleichung vermöge der Form der linken Seite
die notwendig zu erfüllenden Kongruenzen:
(17) , Go(x-K)*go = Omod(x-ot)
(18) Go[(x-o^)^g^+x(x-K)^go+(x-x)^gl]+Gl(x-x)''go = 0 mod(x-x)
(19) Go[(x-x)!'-g( + ^(x-<x)^gi + g2] + Gi(x-K)^gi = 0 mod(x-x)
(20) Gog^ + Gig2 = 0 mod(x-a) ;
für x^l, ;x>l folgt aus (18) Gg^O, also auch G^O, und dasselbe
für ;x>l aus (19), während für [x = l Go(gi+g2) = 0, also im allge-
meinen nur G,) = 0 und G^O folgt, wenn gi+gg^O ist. Bemerkt
man nun, daß