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https://doi.org/10.11588/diglit.34890#0015
Der EisENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen.
(A. 5) 15
Um nun allgemein, nicht nur wie in dem soeben behandel-
ten Beispiel die hinreichenden Bedingungen, in den Koeffizienten
(Po, <?i, ... in Q ausgedrückt, für die Zerlegung von P mit in x gan-
zen Koeffizienten, sondern die notwendigen und hinreichenden Be-
dingungen dafür in den Koeffizienten fp, f^, ..., Ti, ... von P und
Q ausgedrückt aufzustellen, bemerke man zunächst, daß — von dem
selbstverständlichen Falle, daß To eine Konstante ist, abgesehen —,
wenn f^ nicht durch % teilbar ist, wie aus dem Koeffizienten von
Q(n—v) (tl) 2^ ersehen, eine Zerlegung mit in x ganzen Koeffi-
zienten nicht möglich ist, und daß ferner eine hinreichende Be-
dingung für eine derartige Zerlegung durch die Kongruenzen ge-
liefert wird
i'o = 0 mod <Po"\ fi = 0 mod To"^\ - -. fn—i = 0 mod % ,
da dann alle Koeffizienten von ... Q' auf der rech-
ten Seite der Gleichung (11), und somit auch der von Q durch
?o"teilbar sind, während sonst nur ohne weitere Bedingungen
die Teilbarkeit der rechten Seite von (11) durch % unmittelbar
ersichtlich ist.
Hat nun P = 0 mit der irreduktibeln Gleichung Q=0 ein In-
tegral gemein, so daß nach (11) die Beziehung besteht
^n-,+1 p = ^ QK-, + ^ + . . . + ^ Q '
so folgt durch Identifizierung der Koeffizienten der Ableitung von y
fo = G. % oder G. = To*'" ^ o
fi = G. [(n -1) ^ + Ti] + Gi To
oder
usw., und es werden somit die notwendigen und hinreichenden
Bedingungen dafür, daß die Zerlegung von P eine ganze sein soll,
also die Koeffizienten Go, G^ ... durch To*^* teilbar sein sollen,
in den Größen fo, fi, ... ToiTi--- ausgedrückt, die folgenden sein:
(A. 5) 15
Um nun allgemein, nicht nur wie in dem soeben behandel-
ten Beispiel die hinreichenden Bedingungen, in den Koeffizienten
(Po, <?i, ... in Q ausgedrückt, für die Zerlegung von P mit in x gan-
zen Koeffizienten, sondern die notwendigen und hinreichenden Be-
dingungen dafür in den Koeffizienten fp, f^, ..., Ti, ... von P und
Q ausgedrückt aufzustellen, bemerke man zunächst, daß — von dem
selbstverständlichen Falle, daß To eine Konstante ist, abgesehen —,
wenn f^ nicht durch % teilbar ist, wie aus dem Koeffizienten von
Q(n—v) (tl) 2^ ersehen, eine Zerlegung mit in x ganzen Koeffi-
zienten nicht möglich ist, und daß ferner eine hinreichende Be-
dingung für eine derartige Zerlegung durch die Kongruenzen ge-
liefert wird
i'o = 0 mod <Po"\ fi = 0 mod To"^\ - -. fn—i = 0 mod % ,
da dann alle Koeffizienten von ... Q' auf der rech-
ten Seite der Gleichung (11), und somit auch der von Q durch
?o"teilbar sind, während sonst nur ohne weitere Bedingungen
die Teilbarkeit der rechten Seite von (11) durch % unmittelbar
ersichtlich ist.
Hat nun P = 0 mit der irreduktibeln Gleichung Q=0 ein In-
tegral gemein, so daß nach (11) die Beziehung besteht
^n-,+1 p = ^ QK-, + ^ + . . . + ^ Q '
so folgt durch Identifizierung der Koeffizienten der Ableitung von y
fo = G. % oder G. = To*'" ^ o
fi = G. [(n -1) ^ + Ti] + Gi To
oder
usw., und es werden somit die notwendigen und hinreichenden
Bedingungen dafür, daß die Zerlegung von P eine ganze sein soll,
also die Koeffizienten Go, G^ ... durch To*^* teilbar sein sollen,
in den Größen fo, fi, ... ToiTi--- ausgedrückt, die folgenden sein: