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https://doi.org/10.11588/diglit.34890#0023
Der EisENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen. (A. 5) 23
ist, durch
(n—v)<pQ + (pi^O mod(x—x)
ersetzt werden. Danach folgt aus der zweiten Kongruenz wegen
Yo=0, daß wiederum Yi=0 oder Gi durch x—x teilbar ist, wenn
(n—v—l)M(, + ^iEjE0 oder (n-v-l)^ + (p^ÜEOmod(x-x)
ist, usw. Besteht jedoch für einen der Werte k = l,2, ...n—v die
Kongruenz
k?o + ?i = 0 mod (x—x),
so folgt nicht, daß das zugehörige G durch x—x teilbar, also die
Zerlegungsform mit in x ganzen Koeffizienten möglich ist. Sollen
also alle obigen Inkongruenzen erfüllt sein, so muß man, wenn x
eine vielfache Lösung von % ist, annehmen, daß (pi diese Lösung
nicht hat, und wenn x eine einfache Lösung von % ist, diese auch
<pi angehört, oder wenn dies nicht der Fall ist, für kein k = n—v,
n—v—l,...l die Kongruenz k(pQ + ^ = 0mod(x—x) besteht, deren
Gültigkeit aber die Teilbarkeit der G durch x—x nicht auszu-
schließen braucht — und dies waren auch die früher gefundenen
hinreichenden Bedingungen.
Wir wollen nun zunächst eine einfache Anwendung der ge-
wonnenen Resultate auf die Frage machen, ob eine lineare Diffe-
rentialgleichung dritter Ordnung
P = W"+fiy'+t'2y'+f3Y = o,
deren Koeffizienten für irgend einen Wert x den Bedingungen
unterliegen
fo = 0, 1\ = 0, fg^O, fg^0mod(x—x), i'Q^0mod(x—x)^,
mit der irreduktibeln Differentialgleichung zweiter Ordnung
Q = ?oy"+?iy'+%y=o
ein Integral gemein haben kann.
ist, durch
(n—v)<pQ + (pi^O mod(x—x)
ersetzt werden. Danach folgt aus der zweiten Kongruenz wegen
Yo=0, daß wiederum Yi=0 oder Gi durch x—x teilbar ist, wenn
(n—v—l)M(, + ^iEjE0 oder (n-v-l)^ + (p^ÜEOmod(x-x)
ist, usw. Besteht jedoch für einen der Werte k = l,2, ...n—v die
Kongruenz
k?o + ?i = 0 mod (x—x),
so folgt nicht, daß das zugehörige G durch x—x teilbar, also die
Zerlegungsform mit in x ganzen Koeffizienten möglich ist. Sollen
also alle obigen Inkongruenzen erfüllt sein, so muß man, wenn x
eine vielfache Lösung von % ist, annehmen, daß (pi diese Lösung
nicht hat, und wenn x eine einfache Lösung von % ist, diese auch
<pi angehört, oder wenn dies nicht der Fall ist, für kein k = n—v,
n—v—l,...l die Kongruenz k(pQ + ^ = 0mod(x—x) besteht, deren
Gültigkeit aber die Teilbarkeit der G durch x—x nicht auszu-
schließen braucht — und dies waren auch die früher gefundenen
hinreichenden Bedingungen.
Wir wollen nun zunächst eine einfache Anwendung der ge-
wonnenen Resultate auf die Frage machen, ob eine lineare Diffe-
rentialgleichung dritter Ordnung
P = W"+fiy'+t'2y'+f3Y = o,
deren Koeffizienten für irgend einen Wert x den Bedingungen
unterliegen
fo = 0, 1\ = 0, fg^O, fg^0mod(x—x), i'Q^0mod(x—x)^,
mit der irreduktibeln Differentialgleichung zweiter Ordnung
Q = ?oy"+?iy'+%y=o
ein Integral gemein haben kann.