Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

24 (A. 5)

L. KOENIGSBERGER:

Wäre dies der Fall, fände also der Gleichung (11) gemäß die
Beziehung statt
?'P = G.Q+GiQ,
worin G(, und G^ ganze Funktionen von x sind, so würde sich zu-
nächst unter der Voraussetzung, daß mod(x—x) ist, aus
?ofo = Go(poi oder Go = (pofo-Omod(x-x)
die Kongruenz
?ofi"*Go(?o + ?i) = Gi?o = 0, also Gi = 0mod(x—(x)
ergeben, was unmöglich ist, da dann
<Pof3 = Go?2 + Gi(p2 = 0 mod (x-x)
wäre, während nach der Voraussetzung fg^O mod (x—x) sein sollte.
Ist aber % —0 mod(x—x), und nimmt man an, daß, wenn x eine
mehrfache Wurzel von % ist, diese nicht <pi angehört, und wenn
eine einfache Wurzel von (pp, auch (pi diese Lösung besitzt, so würde
nach der obigen Auseinandersetzung sich für P, wenn <pQ = (x—x)^Q
gesetzt wird, worin ^^0 mod(x—x), die Zerlegungsform mit in
x ganzen Koeffizienten ergeben
^P = goQ'+giQ -
Da aber ^olo = &To' also, weil x als einfache Wurzel von fo vor-
ausgesetzt war, diese Lösung keine mehrfache von % sein kann,
so bleibt von der obigen Annahme nur noch der Fall zu unter-
suchen, daß x eine einfache Lösung von % ist, welche auch % an-
gehört, und da sich dann aus eben dieser Beziehunggo^Omod(x-x)
ergibt, so wird wegen
li = (?o + Ti) To
To+Ti durch x—x teilbar sein, was wieder der Annahme wider-
spricht. Es folgt somit, daß die Differentialgleichung dritter Ord-
nung mit keiner irreduktibeln Differentialgleichung zweiter Ord-
nung von der Form

^oy"+(*-K)^iy'+^y = 0, worin p^o