Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der EiSENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen. (A. 5) 25

oder
(x-a)^^y"+^y+^y = 0, worin x^2,
oder
(x-^)^oy"+(x-^^y+ ^y = 0, worin X^'l ,
wenn ^ und mod (x—x) sind, ein Integral gemein haben kann.
Dieser speziellen Anwendung wollen wir noch der folgenden
Untersuchung wegen eine weitere Ausdehnung geben.
Sind in der Differentialgleichung
P-f.y'°'+f,y'°-" + ... + f,y = 0
die Funktionen fQ,F, ...f^_,, für irgendeinen Wert x durch x—x
teilbar, aber eine der folgenden Funktionen f^;+i,fn—^+2?---^
nicht, so kann diese mit keiner irreduktibeln Differentialgleichung
Ordnung
Q = ?o y^+y^+- - - + ?^ y - o,
in welcher pQ^0mod(x—x) angenommen wird, ein Integral gemein
haben. Denn wäre dies der Fall, so würden sich aus der Zer-
legungsform (11) die Beziehungen ergeben
also GQ = 0mod(x—x)
(DQ**'^U^ = Go[(n—0?o + ?i]+G'i?o? sdso Gi = 0mod(x—x)
?o ^2 = Go [(n—v)g pQ + (n—^)ipi + %] + G^ [(n—v—l)pQ+ p^] + GgPo,
also Gg = 0 mod (x—x),
usw., endlich G^_^ = 0mod(x—x), und somit die rechte Seite der
Zerlegungsform durch x—x teilbar sein, was der Annahme, daß
eine der f-Funktionen mit höherem Index als n—v nicht durch
x—x teilbar sein sollte, widerspricht.
Nehmen wir also an, daß in einer Differentialgleichung iT^
Ordnung alle Koeffizienten mit Ausnahme des letzten einen ge-
meinsamen linearen Teiler x—x besitzen, so kann diese Differen-
tialgleichung mit keiner irreduktibeln Differentialgleichung der
2^ ...n—Ordnung, deren höchster Koeffizient den Teiler
x—x nicht besitzt, ein Integral gemein haben, wird also in bezug