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https://doi.org/10.11588/diglit.34890#0026
26 (A. 5)
L. KOENIGSBERGER:
auf Differentialgleichungen mit der letzteren Beschränkung selbst
irreduktibel sein.
Hat ferner in P = 0 der Koeffizient fp eine einfache Lösung a,
so kann dieselbe mit keiner linearen irreduktibeln Differential-
gleichung niederer Ordnung, derer erster Koeffizient die Lösung a
mehrfach, und deren zweiter sie gar nicht enthält, ein Integral ge-
mein haben.
Denn, wäre dies der Fall, so würde sich nach den früheren
Auseinandersetzungen P mit in x ganzen Koeffizienten, wenn
<Po = (x—in der Form zerlegen lassen
+ - - - + gn-v ((x-K)* y^ + y^ + -- -),
worin ^ und ^^0 mod(x—a) sind, und somit
sein, sich also gegen die Voraussetzung a als mehrfache Lösung
von fo ergeben — die Annahme <pi^0 mod(x—a) war zur Annahme
der Zerlegung von P mit in x ganzen Koeffizienten notwendig.
Hat endlich der erste Koeffizient fp der Differentialgleichung
P = 0 wieder eine Lösung a einfach und gehört dieselbe auch dem
Koeffizienten f^ an, so kann dieselbe wieder kein Integral mit
einer irreduktibeln linearen Differentialgleichung niederer Ordnung
gemein haben, in welcher % diese Lösung einfach und <pi sie eben-
falls besitzt, da sonst, wenn (po=.(x—a)^o und ^o^0mod(x—a)
ist, wieder eine Zerlegung von P mit in x ganzen Koeffizienten
von der Form möglich wäre
+ - - - + gn-v ((X-K) ^oy^ + (x-K)^ y^ +
aus der sich die beiden Beziehungen ergehen würden
L. KOENIGSBERGER:
auf Differentialgleichungen mit der letzteren Beschränkung selbst
irreduktibel sein.
Hat ferner in P = 0 der Koeffizient fp eine einfache Lösung a,
so kann dieselbe mit keiner linearen irreduktibeln Differential-
gleichung niederer Ordnung, derer erster Koeffizient die Lösung a
mehrfach, und deren zweiter sie gar nicht enthält, ein Integral ge-
mein haben.
Denn, wäre dies der Fall, so würde sich nach den früheren
Auseinandersetzungen P mit in x ganzen Koeffizienten, wenn
<Po = (x—in der Form zerlegen lassen
+ - - - + gn-v ((x-K)* y^ + y^ + -- -),
worin ^ und ^^0 mod(x—a) sind, und somit
sein, sich also gegen die Voraussetzung a als mehrfache Lösung
von fo ergeben — die Annahme <pi^0 mod(x—a) war zur Annahme
der Zerlegung von P mit in x ganzen Koeffizienten notwendig.
Hat endlich der erste Koeffizient fp der Differentialgleichung
P = 0 wieder eine Lösung a einfach und gehört dieselbe auch dem
Koeffizienten f^ an, so kann dieselbe wieder kein Integral mit
einer irreduktibeln linearen Differentialgleichung niederer Ordnung
gemein haben, in welcher % diese Lösung einfach und <pi sie eben-
falls besitzt, da sonst, wenn (po=.(x—a)^o und ^o^0mod(x—a)
ist, wieder eine Zerlegung von P mit in x ganzen Koeffizienten
von der Form möglich wäre
+ - - - + gn-v ((X-K) ^oy^ + (x-K)^ y^ +
aus der sich die beiden Beziehungen ergehen würden