Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der EisENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen. (A. 5) 27

^ (x-x) wonach g.^ 0 mod (x-x)
und
^n-v+1 ^ ^ [(n-v) ((x-x) ^ + ^o) + (x-K)^ + gl (x-x) <^o ,
welch letztere unmöglich ist, da f^O und ^Q^Omod(x—a) ist.
Fassen wir die letzten drei Sätze zusammen, so finden wir,
daß eine Differentialgleichung
P = f 0 y(R> + fl yC'"') + - - - + fn-1 y + y = 0 ,
in welchen für irgend einen Wert x
fo,fi, ...fa_i = Omod(x—<x), i'o^Omod(x—x)^, f^^Omod(x—x)
ist, und die wir eine EisENSTEiNsche Differential-
gleichung nennen wollen, mit keiner irreduktibeln
Differentialgleichung niederer Ordnung, in welcher
die beiden ersten Koeffizienten % und pi den Be-
dingungen unterliegen, daß entweder po^0mod(x—x),
oder <po = 0mod(x—x^ und pi^0mod(x—x), oder po^O
mod(x—x), aber ^0 mod (x—x)2 und pi = 0mod(x—x) ist,
ein Integral gemein haben kann.
Daß nicht jede EisENSTEiNsche Differentialgleichung selbst
irreduktibel sein muß, möge zunächst nur durch das Beispiel er-
läutert werden
x (x—x) v" + (x—x) (x (x—x) +1) y' + (2x (x—x) + (x—x)^ — 1) y
= x [(x-x) y' + ((x-x)2 -1) y] + [(x-x) y' + ((x-xf -1) y] ,
welches zugleich eine Zerlegungsform mit in x ganzen Koeffizien-
ten bildet.
Es bleiben somit nur noch die beiden Fälle zu untersuchen, daß
1) Po die Lösung x einfach, pi sie gar nicht enthält, und
2) po dieselbe mehrfach und pi sie einfach oder mehrfach besitzt.