Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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L. KOENIGSBERGER:

einer früheren Bemerkung dann auch Gg durch (x—a)^teilbar
sein muß, durch Division mit (x—a)^"die Beziehung
^n-^+i ^ [(n-v)g J+ (n-v)i (p[ + <pg] + gi [(n-v-1) ?[+(pj+g^ (x-a) ^ ,

und für das Bestehen dieser Gleichung die notwendige Bedingung,
daß
wenn gi = 0 auch (n—% + (n—v)i + ?2 = 0
und

wenn gi^O auch (n—v)2(pj + (n—v)i(p[ + (p2^0,
aber zugleich go[(n-^2?J + (n-^)iD + ?2]+gi[(^-i)^ + ?i]-0

sein muß. Daß in der Tat die Erfüllung dieser beiden Bedingun-
gen, welche für die Zerlegung der EiSENSTEiN sehen Gleichung not-
wendig waren, auch eine Zerlegung in Wirklichkeit gestatten kann,
ist aus den beiden Beispielen

x (x—a) y "'+ (x+1) (x—a) y"+ (x—a) ((x—a) W 4x) y'+ (3 (x—a) W 2 (x—1)) y
= x ^[(x-a)y+((x-af-2)y]+(x-a)-^- [(x-a)y+((x-a)^-2)y]
+ [(x-K)y + ((x-a)^-2)y]

und
(a—1) (x—1) (x—a) y'"+ (x—a) (4x + 5a—9)yW (x—a) ((a—1)
+ (4 + (a—l)(x—3a+2))y

x—a+13)y'

dx

= D-l) [(x-l) (x-a) y + (x -3 a+2) y]
[(x-1) (x-a) y + (x-3a+2) y ] + (a-1) [(x-l) (x-a) y'+ (x-3 a +2) y ]

unmittelbar ersichtlich.
In derselben Weise werden sich die weiteren Bedingungen
aus der angenommenen Zerlegungsform herleiten lassen. Im all-
gemeinen läßt sich nur aussagen, daß, wenn für irgend einen Wert
von k die Kongruenz k(pQ + <pi = 0mod(x—a) erfüllt ist, die Expo-
nenten von (x—a) in den auf das zugehörige G folgenden Funk-
tionen stets um eine Einheit abnehmen werden, daß aber nur,