Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der EisENSTEiNsche Satz für lineare Differentialgleichungen. (A. 5) 41
daß, wenn —1 angenommen wird,
G2 = (x-K)*^^g2, worin g2-(n-^2^(^+l)go^Omod(x-x),
usw., bis man
G._^(x-x)^^+^g^, worin g^_^Omod(x-x)
erhält, und wir finden somit, da die Exponenten der (x—^-Poten-
zen in den Funktionen G mit wachsendem Index abnehmen, daß
unter der Annahme, daß
x>0, Xp>—x und ^> —(p—1)
- also z. B. wenn x>v—1, Xp^>—(p—l) — die Differen-
tialgleichung n*^ Ordnung mit der Differentialglei-
chung Anordnung kein Integral gemein haben kann.
Fassen wir die bisher gewonnenen Resultate zusammen, so
folgt,
daß eine lineare homogene Differentialgleichung
nter Ordnung
fo y^y ^+- - - + fn-i y'+ fn y = o,
in welcher alle Koeffizienten — mit Ausnahme des
letzten — einen gemeinsamenTeiler x—x haben, der
in f Q n u r einfach enthalten ist, mit keiner linearen
homogenen Differentialgleichung niederer Ordnung
?o y^+D y^+- - - + ?v-i y+y = o
ein Integral gemein haben kann, welches nicht schon
einer gleichartigen Differentialgleichung noch nie-
derer Ordnung als der genügt, wenn
1) (po^O mod (x—x)
2) ?o — 0 mod (x—x)2, <p^0 mod (x—x)
3) % = 0 mod (x—x), cp^ 0 mod (x—x)
^0 mod (x—x)^