Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Existenzsätze für implizite Funktionen.

(A. 6) 5

Daraus folgt aber, daß es zwischen — c und +o einen Wert cp = (p(2)
gibt, für welchen
(5.) F^(^,cp) = 0
ist; und aus (3.) schließt man, daß es solchen Wert p
gibt, indem nämlich nach dem Mittelwertsatz

= + 0<h<i,
also nach (5.) und (3.)
, füro^yxp
(6.)
1^ —((p—?/)c<0 für—o^?/<o
ist. Aus dem Bewiesenen ergibt sich ohne weiteres, daß F(2,z/)
als Funktion von y an der Stelle ?/ = (p ein absolutes Minimum im
Bereich ]?/] hat.
Die Existenz der durch Gleichung (5.) definierten Funktion <p
ergibt sich übrigens auch direkt aus dem in § 1 erwähnten Satz,
angewandt auf die Funktion F^(2,?/). Wir entnehmen diesem Satz
weiter, daß (p eine ^eFg'e Funktion von % ist, die für Fm 2 = 0 dem
Wert 0 zustrebt.
Aus (5.) folgt durch Anwendung des Mittelwertsatzes:
0 = Fy(2,0) + <p-F^(2,F(p) 0<F<1;
oder anders geschrieben:
, F^2,0)
F^FCP) '
Nun ist weiter nach dem TAYLOR sehen Satz

F(2,(p) = F(2,0) + (p.Fy(2,0) + ^-(pFF^(2,erp) 0<e<l ;
daher, wenn man für <p den obigen Wert einsetzt, nach leichter
Reduktion:
F;;(o,o)F(2,rp)=F;;(o,o)F(2,o)
[2AÜ0-0) ^(0,0)F;;^,e^)]
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