Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Existenzsätze für implizite Funktionen.

(A. 6) 7

und p, als auch zwischen p und o /e Wert y liegt, für den
F(;r,y) = 0 ist. Die Gleichung F(2,y) = 0 hat daher jetzt für ge-
nügend kleine Werte von [3] genau zwei Lösungen y^-yüü und
2/2 = 2/2 (Ü iui Bereich ly[^o; also
(10.) F(^,y^))-0, F(a;,?/2(^))-0;
und zwar ist
(11.) o>?/i>p>?/2>-o.
Wir wollen noch zeigen, daß y^ und yg ^2e2ige Funktionen von
% sind, die für = 0 dem Wert 0 zustreben. Bedeutet s eine
beliebig kleine positive Zahl, so zeigt die gleiche Überlegung, die
zu Ungleichung (9.) führte, daß für sehr kleine Werte von [a]
F (2, + e) > 0
ist, woraus sich analog zu (11.) ergibt:
s>2/i><P>2/2>-E ;
somit ist zunächst

F??? yi = Fmya = 0 .
x-0 x—0
Ist ferner % = ä: eine beliebige Stelle in der Nähe von 3i = 0,
so ist nach (6.)
F(, (L, yi (^)) > (yi (^) - p? (^)) c > 0
F) (F, y^ (F)) 57 - (p) (F) - y^ (F)) c < 0 ,
also
F((F,yNÜ) + 0, F((üya(Ü) + 0 .
Die Gleichung F(^,y) = 0 hat daher nach dem in § 1 erwähn-
ten Satz in der Umgebung der Stelle F eine 32eFge Lösung y, die
für % = % den Wert y = yi(F), und ebenso eine, die den Wert y = y2(F)
annimmt. Diese Lösungen müssen aber mit yüü bezw. yg(ä?) iden-
tisch sein, da in den Intervallen oy>p bezw. p>y>—c keine
weiteren Lösungen existieren, und 0(2) selbst eine $2eFge Funk-
tion ist.