Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Existenzsätze für implizite Funktionen.

(A. 6) 9

zwei verschiedene (reelle) Lösungen hat oder gar keine. Diese Ver-
mutung ist aber falsch, wie die folgenden Beispiele zeigen, in denen
a^ & = 0 ist.
7. FeDpieh F(^,?/) = (a:—1/)^ + ^—^ .
Die Gleichung F(a:,y) = 0 hat die Lösung 7/ = %; die quadrati-
sche Näherungsgleichung dagegen lautet
(%—2/)WF = 0
und hat keine (reelle) Lösung.
2. Derlei. F(;r,^) = (;r—y)^ —F+2z/ .
Die Gleichung F(a;,z/) = 0 hat, wie leicht zu sehen ist, keine
Lösung; die quadratische Näherungsgleichung dagegen lautet
(%—?/)2 —ad = 0
und hat die beiden Lösungen p = +

3.

Wir wenden uns jetzt zu dem allgemeinen Fall, daß die Ab-
leitung niederster Ordnung nach ?/, die an der Stelle a, & nicht
verschwindet, die a^ ist. Dabei bezeichnen wir die Ableitungen
nach p einfach nach Akzente:


^'(332/)'


^(G2/) -

Als ein erstes Resultat beweisen wir
SATZ 2. Die FaaAFaa F(aq?/) $ei azd iArea a er^ea AizFdaa-
gea aacA ?/ ia der Dazge&aag der N^ede a, iz, die^e ez'age^cAF^ea,
^edg; /eraer ^ei

F(a,&) = 0, F'(a,O = 0, ... , F^-')(a,iz) = 0, F^(a,0 AO.