Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Existenzsätze für implizite Funktionen.

(A. 6) 15

30A ezFe 3FAgeFd3M72g 77 = 77 = 77(3;) Au^e77, /ür weFAe 77(77) = &
MTzd e3 30A weAer ei^e po3hfce ZuAf c ejA^iereH, derurh AnA
} ] > c ] 77—^^
ML F^rHFA 3cF 71^3 3em.
U77fer dfe3e77. For%M33eUM77ge72. gfF 63 F der Fuzge^M/rg der^Fde
3; = u ehze uud 7?ur ef7ze deTM /77tercu/^
<7/^7?+]^'(^,7?))
Tmge/zdreTzdeF&Mzzg 7/ derUFFAu77gF(3;,g) = 0. Fzzd zwur 7/ ehze
3^eUge FzzzzAAozz cozz 3:.
Die Voraussetzungen des Satzes bleiben erhalten, wenn man,
unter g irgendeine positive Zahl verstehend, die Funktion F ersetzt
durch g-F, wodurch auch 0 übergeht in g-0. Aus dieser Bemer-
kung ergibt sich einerseits, daß die Lösung 7/ stets in dem Intervall
(26.) ?7-g.]0'(;r,?7)] ^y^ + g-jfP'^,??)]
liegt, wie sehr man dieses auch durch Verkleinerung von g ver-
kleinern mag; freilich, je kleiner g ist, um so kleiner wird auch
die Umgebung der Stelle 3: = %, für welche die Lösung in dem
Intervall (26.) liegt. Anderseits ergibt sich, daß immer zzzzr efzze
Lösung in diesem Intervall liegt, wie sehr man es auch durch Ver-
größerung von g vergrößern mag; freilich, je größer g, um so kleiner
wird die Umgebung der Stelle 3; = u, für welche die Eindeutigkeit
der Lösung garantiert werden kann.
Der Satz 3 gilt nicht mehr für zz = 2. Beispiel:
-F(uy) = 3g^-6^g .
Hier ist 0(3;,z/) = F(3;,7/). Die Lösung 77 = 23; genügt unsern For-
derungen; denn es ist
]0'(3;, 77)] = [677—63:] = ]63;)^>j23;) = l77j .
Das Intervall (25.) aber ist für positive 3; das folgende: