Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Einleitung

Der Frage GoLDBACHS nach den Darstellnngen der geraden
Zahlen als Summen von zwei ungeraden Primzahlen hatte ich die
Frage an die Seite gestellt, auf wieviele Arten eine durch sechs
teilbare Zahl erhalten wird, wenn als Summanden nur Primzahl-
zwillinge verwendet werden (diese Sitzungsberichte, 1916,10. Abh.).
Verallgemeinernd kann man Folgen von Primzahlen betrachten,
bei denen die benachbarten Glieder sich nm gegebene gerade Zah-
len unterscheiden, und die Summen untersuchen, die entstehen,
wenn bei zwei Folgen mit symmetrischen Differenzen, die eine auf-
steigend, die andere absteigend genommen, die untereinander
stehenden Glieder addiert werden. Eine solche Ausdehnung hätte
keinen Nutzen, wenn sie rein formaler Art wäre. Es hat sich in-
dessen herausgestellt, daß die Gesamtheit der Fragen über Summen
und Differenzen von Primzahlen einer einheitlichen Behandlung
fähig ist, wenn man gewisse Folgen ungerader Zahlen heranzieht,
die mit dem Sieb des ERATOSTHENES Zusammenhängen und die
ich als Lückenzahlen r-ter Stufe bezeichne. Im Gebiet der Lücken-
zahlen lassen sich nämlich die entsprechenden Fragen in ab-
schließender Weise beantworten, und von jedem für beliebige Stu-
fen geltenden Satze über Summen und Differenzen von Lücken-
zahlen gelangt man durch einen eigenartigen Grenzübergang, der
freilich noch der strengen Begründung bedarf, zu dem Seitenstück
im Gebiet der Primzahlen. Wenn das geschilderte AVrfahren auch
als heuristisch zu bezeichnen ist, so verdienen die Ergebnisse doch
Vertrauen; sie haben sich bei der numerischen Prüfung durchweg
als richtig erwiesen. Vielleicht trägt die neue Auffassung dazu bei,
daß der Beweis des GoLDBACHsehen Satzes gelingt; wer hier durch-
dringt, wird sicherlich zugleich den ganzen Inbegriff der Fragen
über Summen und Differenzen von Primzahlen bezwingen, von
denen im folgenden die Rede sein soll.