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https://doi.org/10.11588/diglit.36399#0007
Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I. (A. 15) 7
zahlen r-tcr Stufe des Hauptbereichs r-ter Stufe durchläuft. Die
Lückenzahlen (r + l)-ter Stufe ergehen sich, wenn man aus den
Zahlen 2P^p + ^ die durch teilbaren Zahlen ausscheidet. Bei
einem festen Werte von ist aber von den Zahlen 2P^^ + u^
eine und nur eine durch p,.,^ teilbar; mithin entspringen beim
Übergang von der r-ten zur (r+l)-ten Stufe aus jeder Lückenzahl
7"-t,er Stufe p,^ — ! Lückenzahlen (r+l)-ter Stufe. Nun erhält man
aber für r = l im Hauptbereich erster Stufe, der von 1 bis 6 reicht,
als Lückenzahlen erster Stufe 1 und 5, also 2 = 3 — 1 Lückenzahlen.
Folglich ist die Anzahl der Lückenzahlen r-ter Stufe im Haupt-
bereich r-ter Stufe
(2) 7f' = (3-l)(5-i)(7-l)...(p,-l).
Der Ausdruck stimmt überein mit der zahlentheoretischen
Funktion p(2P^), die angibt, wieviel zu 2P, teilerfremde Zahlen
im Hauptbereich liegen. Es schien jedoch angebracht,
die Anzahl der L ü cke n z ah 1 en im H auptb er ei ch zu
bestimmen, ohne die Funktion <p (n) h e r a n z u z i e h e n,
weil dadurch auf die einfachste Art ein dem Ver-
fahren des ERATOSTHENES anhaftender Mangel be-
seitigt und gleichzeitig ein Beweis für den Satz ge-
wonnen wird, daß es Primzahlen gibt, die größer
sind als irgend eine gegebene Zahl.
Jener Mangel liegt darin, daß man nicht weiß, ob bei einer
der Siebungen ungestrichene Zahlen stehenbleiben, ob also das
Verfahren nach einer endlichen Zahl von Schritten beendet ist.
Dali dies nicht der Fall ist, folgt aber sofort aus der für alle Werte
von 7' gültigen Ungleichheit P^ > 2, die zeigt, daß nach Abrech-
nung der Zahl 1 stets noch mindestens eine weitere Lückenzahl
im Hauptbereich vorhanden ist, sodaß jeder neue Schritt zu einer
neuen Primzahl führtL
Um nachzuweisen, daß es mindestens eine Primzahl gibt, die
größer ist als p^, benutzt EuKLiD (IX. Buch, Satz 20) die Lücken-
zahl r-ter Stufe 2P,.+ t = 2-3-5---p, + L Dieser Kunstgriff
wird erst durch die Lehre von den L ü c k e n z a h 1 e n
aufgeklärt.
i Auf demselben Grundgedanken beruht der Beweis von E. IvuMMER,
Neuer elementarer Beweis des Satzes, daß die Anzahl aller Primzahlen un-
endlich ist, Monatsberichte der Berliner Akademie, Jahrgang' 1878, S. 777.
zahlen r-tcr Stufe des Hauptbereichs r-ter Stufe durchläuft. Die
Lückenzahlen (r + l)-ter Stufe ergehen sich, wenn man aus den
Zahlen 2P^p + ^ die durch teilbaren Zahlen ausscheidet. Bei
einem festen Werte von ist aber von den Zahlen 2P^^ + u^
eine und nur eine durch p,.,^ teilbar; mithin entspringen beim
Übergang von der r-ten zur (r+l)-ten Stufe aus jeder Lückenzahl
7"-t,er Stufe p,^ — ! Lückenzahlen (r+l)-ter Stufe. Nun erhält man
aber für r = l im Hauptbereich erster Stufe, der von 1 bis 6 reicht,
als Lückenzahlen erster Stufe 1 und 5, also 2 = 3 — 1 Lückenzahlen.
Folglich ist die Anzahl der Lückenzahlen r-ter Stufe im Haupt-
bereich r-ter Stufe
(2) 7f' = (3-l)(5-i)(7-l)...(p,-l).
Der Ausdruck stimmt überein mit der zahlentheoretischen
Funktion p(2P^), die angibt, wieviel zu 2P, teilerfremde Zahlen
im Hauptbereich liegen. Es schien jedoch angebracht,
die Anzahl der L ü cke n z ah 1 en im H auptb er ei ch zu
bestimmen, ohne die Funktion <p (n) h e r a n z u z i e h e n,
weil dadurch auf die einfachste Art ein dem Ver-
fahren des ERATOSTHENES anhaftender Mangel be-
seitigt und gleichzeitig ein Beweis für den Satz ge-
wonnen wird, daß es Primzahlen gibt, die größer
sind als irgend eine gegebene Zahl.
Jener Mangel liegt darin, daß man nicht weiß, ob bei einer
der Siebungen ungestrichene Zahlen stehenbleiben, ob also das
Verfahren nach einer endlichen Zahl von Schritten beendet ist.
Dali dies nicht der Fall ist, folgt aber sofort aus der für alle Werte
von 7' gültigen Ungleichheit P^ > 2, die zeigt, daß nach Abrech-
nung der Zahl 1 stets noch mindestens eine weitere Lückenzahl
im Hauptbereich vorhanden ist, sodaß jeder neue Schritt zu einer
neuen Primzahl führtL
Um nachzuweisen, daß es mindestens eine Primzahl gibt, die
größer ist als p^, benutzt EuKLiD (IX. Buch, Satz 20) die Lücken-
zahl r-ter Stufe 2P,.+ t = 2-3-5---p, + L Dieser Kunstgriff
wird erst durch die Lehre von den L ü c k e n z a h 1 e n
aufgeklärt.
i Auf demselben Grundgedanken beruht der Beweis von E. IvuMMER,
Neuer elementarer Beweis des Satzes, daß die Anzahl aller Primzahlen un-
endlich ist, Monatsberichte der Berliner Akademie, Jahrgang' 1878, S. 777.