Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 (A. 15)

PAUL STACKEL:

Wenn man mit 1 beginnend die Lückenzahlen 7 -ter Stufe der
Größe nach ordnet, so lassen sich je P^ aufeinanderfolgende
Löckenzahlen in einem Abschnitt zusammenfassen: die Glieder
eines Abschnittes entspringen aus den Gliedern des ersten Ab-
schnittes, des Hauptabschnittes r-ter Stufe, durch Hinzufügen
desselben Vielfachen von 2P^.
Der Hauptabschnitt beginnt mit der Zahl 1, es folgt die Prim-
zahl und dann kommen die zwischen p,._^ und pjL^ liegenden
Primzahlen; pj^ ist die erste Zusammengesetze Zahl des Haupt-
abschnittes, falls nämlich kleiner als 2P, ist, und das gilt für
r >3. Weil mit auch 2P,. — eine Lückenzahl r-ter Stufe ist,
so endet der Hauptabschnitt mit der Zahl 2P^ —1, und die vor-
letzte Zahl ist 2P,. — p^ + 1. Hieraus folgt, daß die p^—2 aufein-
anderfolgenden ganzen Za]den
2P,-p,+i+', 2P„-p,+, + 2, ..., 2P,.-2
zusammengesetzte Zahlen sind, und weil die Folge der Primzahlen
unbegrenzt ist, so gibt es in der Reihe der ganzen Zah-
len Folgen beliebiger Länge, in denen keine einzige
Primzahl vorkommt. Diesen Lehrsatz hat schon DupRE (1859)
ebenfalls mit elementaren Mitteln, aber auf umständlichere Art
bewiesen^, und GLAiSHER (1878) hat, im Anschluß an den Kunst-
griff von EuKLiD, die Zahlen betrachtet:
2P, + 2, 2P,. + 3, ..., 2P,+p^-i,
die dasselbe Listen wie die vorher angegebenen kleineren
Zahlend
Die vorhergehenden Ausführungen mögen durch ein Beispiel
erläutert werden. Man hat 2P? = 9699690, und da p§ = 23 ist, so
sind die 21 Zahlen von 9699 668 bis 9699988 und ebenso die 21
Zahlen 9699692 bis 9 699 712 zusammengesetzt. Die Primzahl-
tafeln zeigen, daß dagegen die Zahlen 9 699667 und 9699 713
Primzahlen sind. Einer besonderen Untersuchung bedürfen

1 A. DuPRE, Examen dünne proposition de LEGENDRE relative ä la
theorie des nombres. Paris 1859, 8. 10. Auf diese seltene Schrift hat mich
WEiNREiCH aufmerksam gemacht, nachdem die vorliegenden Untersuchungen
bereits im wesentlichen abgeschlossen waren.
2 J. W. L. GLAiSHER, An enumeration of prime pairs, Messenger of
math. (2) 8 (1878), 8. 33.