Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I. (A. 15) 13

Es bleibt übrig, die Gewichte der ersten Stufe zu bestimmen.
Man findet sofort
^i(2) - ^i(4) - 1 = 3-2, gi(6) = 2 = 3-1
und gelangt so zu der einfachen
REGEL zur Bestimmung der Gewichte r-ter Stufe. Es seien
n, 6, ...,/ die Primzahlen der Reihe 3, 5, ...,p,,
durch die 2:^ teilbar ist; u, 6', ...,/' die Prim-
zahlen derselben Reihe, durch die es nicht
teilbar ist. Dann wird
(6) G(2?h) = (a-1) (6-1) -- - (3-1) - (u-2) (6-2) ... (f-2) .
Aus den in § 1 auseinandergesetzten Symmetrieeigenschaften
der Reihe der Lückenzahlen folgt die nützliche Beziehung
(7) ^(2R,-2^)=^(2n,);
es genügt daher, die Gewichte der ^(R^ —l) Klassen 2P, % + 2M,
zu bestimmen, bei denen 2u^ von 2 bis P,, — 1 geht, und dazu das
zu sich selbst symmetrische Gewicht g^(2P^).
Das größte Gewicht r-ter Stufe ist das soeben genannte
(8) g,(2P,) = (3-1) (5-1) (p^-1) - Pf ;
es wird nur für die Klasse 2R^.^ erreicht. Zur Abkürzung werde
eingeführt
(9) Pf = (3-2)(5-2)...(p,-2).
Dann ist Pj.^ der kleinste Wert, den ein Gewicht r-ter Stufe haben
kann, und dieser Wert wird für die Pj^ Zahlen 2%, angenommen,
die zu P,. teilerfremd sind.
Wir kehren zu der Aufgabe zurück, die Anzahl der Darstel-
lungen der geraden Zahlen 2^. = 2P^^ + 2u^ als Summe von zwei
Lückenzahlen r-ter Stufe zu ermitteln. Nachdem man die Zahlen
gewählt hat, was auf g,(2n,) Arten geht, ist noch die Glei-
chung a:-6 = ?/+z zu erfüllen. Dies geschieht, indem ?/ = 0,1,2, ...,a;-e
gesetzt wird; dadurch ist z bestimmt. Je nachdem also zy+My = 2M,
oder = 2M, + 2B, ist, erhält man aus dem Wertepaar zy, zey für 2%
als Summe von zwei Lückenzahlen % + ! oder ir Darstellungen.