Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

18 (A. 15)

PAUL STÄCKEL:

(t9)

D. -


pW

Für läßt sich ein einfacher asymptotischer Ausdruck ableiten.
Alan hat zunächst
2P
'' ]og(2C,) '
unter dem Zeichen log wird stets der natürliche Logarithmus ver-
standen. Nun ist bekanntlich^


(21) i.g(2^)-p,,
mithin, wenn noch die Formel (16) von MERTENS benutzt wird:
^ , log/p , i 1,7811
G r r
das heißt, die Dichtigkeit der Primzahlen unter den
Lückenzahlen r-ter Stufe des Hauptabschnittes ist,
für große Werte von r, angenähert. der Stufenzahl
umgekehrt proportional.
Sätze, die für Lückenzahlen jeder Stufe gelten, lassen sich
somit nicht durch Grenzübergang auf Primzahlen übertragen.
Wenn man einen solchen Grenzübergang versuchen will, so ist
vielmehr die Dichtigkeit der Primzahlen unter den Lückenzahlen
zu berücksichtigen. Hiermit steht in Einklang, daß die Formel (10)
für r = co ihren Sinn verliert, denn die Genauigkeit 5 ließ sich nur
erreichen, wenn 2 7t größer als 2P^-A gewählt wurde, und diese
Schranke wächst mit 7' über alle Grenzen.
In dem asymptotischen Ausdruck (14) für G,. (27t) war der
zweite Faktor die Schwankungsfunktion G,(2t?) = G,,(2P,.% + 2M,,);
dabei sollte a;>A sein. Wirksam sind nur die Primzahlen der
Reihe 3,5, 7,..., p., und N(2tt) unterscheidet sich daher von G,(27t)
um das Produkt der Multiplikatoren, die zu den in 27t enthaltenen
Primteilern größer als p. gehören. Die Ausführungen am Schluß
von § 2 zeigen, daß dieses Produkt, wenn die Zahl 27?, nur der Be-
schränkung unterworfen wird, den Betrag % zu übersteigen, größer


i Vgi. etwa E. LANDAU, a. a. O., S. 45.