Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. 1. (A. 15) 19

als jede gegebene Zahl werden kann. Die Forderung, daß 2n
mit r über alle Grenzen wächst, ist aber schon erfüllt, wenn man
%
verlangt, daß ^ —0 sein soll; dieselbe Bedingung wird sich auch
beim Grenzübergang von H^(2n) einstellen. In ihr liegt, daß
2%
, — 0 ist.
Jetzt läßt sich nachweisen, daß N^(2ir) bei wachsenden Werten
von r asymptotisch gleich S*(2n) wird. Die Anzahl der Primteiler
von 2n, die größer als p^ sind, ist nämlich sicher kleiner als
die Zahl die durch die Gleichung 2n = p^* bestimmt wird. Auch
im ungünstigsten Fall bleibt daher das Produkt der zu den
Primteilern größer als p, gehörigen Multiplikatoren kleiner als
.!/(/',.)G Mithin ist der Logarithmus dieses Produktes kleiner als
1 \ . .... . /- log 2 ii
logp,-(p,-2) '

/ log 1 + , also erst recht kleiner als
Pr-2/ p-2

und dieser Bruch ist kleiner als

und nach Gleichung (21)

auch nicht größer als

2 p,.

logp,-(p-2)
, nähert sich folglich mit wachsen-

iogp,-(p,-2)
den Werten von r der Grenze Null. Hiermit ist bewiesen, daß
das Produkt der Multiplikatoren Af(p), p größer als p^,
in der Grenze gegen den Wert Eins konvergiert, voraus-
gesetzt, daß 3? der Bedingung

/L

0 unterworfen wird.

Man hat mithin bei G(2n) als Schwankungsfunktion

(23) N(2n) = dh(u) - Af(6) ... J/(^) ,
wo unter a, ..., / sämtliche in 2n enthaltene un-
gerade Primzahlen zu verstehen sind.
Bei der Wachstumsfunktion UQ(2n) ist für den Grenzüber-
gang die Dichtigkeit der Primzahlen in Ansatz zu bringen, und
zwar hat man, weil bei den Darstellungen einer geraden Zahl
2ii als Summe von zwei ungeraden Primzahlen die Primzahl-
paare in Betracht kommen, HQ(2ir) mit dem Quadrat derDich-
-tigkeit D, zu multiplizieren. Auf diese Art erhält man den Ausdruck