Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahien. I. (A. 15) 21

Mit Hilfe der Gleichungen (23) und (27) findet man schließlich


(28)

also genau denselben Ausdruck, wie er früher § 6)
auf Grund ganz anderer Überlegungen aufgestellt wurde, und ge-
langt damit zu der Näherungsformel S. 20):


Die Vergleichung der wahren Werte von G(2?i) mit den aus der
Formel (A) berechneten Näherungswerten hat gezeigt, daß im Be-
reich von 4000 bis 4998 der relative Wert der algebraischen
Fehlersumme für die einzelnen Hunderte im Mittel zwischen 0,0i
und 0,02 liegt, sodaß die Formel (A) den Verlauf der Funktion
G(2??) trotz der starken Schwankungen befriedigend wiedergibt
(Durren??71g, S. 21).
Der Gedanke, der zu der neuen Herleitung der Formel (A)
führte, eröffnet — und das ist der dritte Fortschritt, den die Ein-
führung der Lückenzahlen mit sich bringt — den Zugang zu einer
ganzen Kette von Sätzen über die asymptotische Darstellung von
Anzahlen, die sich auf die Summen und Differenzen der ungeraden
Primzahlen beziehen, und auch hier haben die heuristisch gefun-
denen Formeln sich numerisch bestätigen lassen.

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Fückenzahlpaare gegebener Differenz

Bei der Frage nach den Paaren von Lückenzalilen r-ter Stufe,
die eine gegebene gerade Zahl 2d zur Differenz haben, tritt in-
sofern eine Schwierigkeit ein, als aus einer Darstellung 2d = w, —^
sogleich unbegrenzt viele entspringen, denn mit zy, w, sind auch
2P, z/ + zy, 2P, y + w, Lückenzahlen /-ter Stufe, die sich um die
gerade Zahl 2<9 unterscheiden. Man gelangt jedoch zu einer be-
stimmten Antwort, wenn man nur solche Darstellungen von 2d als
wesentlich verschieden ansieht, die nicht durch Hinzufügen oder