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https://doi.org/10.11588/diglit.36399#0050
50 (A. 15)
PAUL STÄCKEL:
innerhalb dessen die beiden letzten Ziffern nie gleich sein können.
Auch ein Verwechseln eines Streifens mit einem andern war kaum
zu befürchten, weil immer der zuletzt verschobene Streifen zu er-
setzen war. Am wahrscheinlichsten war das Übersehen einer Ko-
inzidenz, da die Primzahlen, die nicht Zwillingen angehören, etwas
störend wirkten. Immerhin ist das Bild, das sich auch an einer ge-
drängten Stelle ergibt, noch ohne Mühe zu erkennen (siehe S. 49).
Zur Kontrolle wurde das Verschieben der Streifen aneinander
nicht nur so lange fortgesetzt, bis der erste Zwilling größer wurde
als der zweite, sondern bis ans Ende, sodaß sich die Paare wieder-
holten. Im ersten Teil, bis 10000, wurden alle Ergebnisse auf-
geschrieben und mit denen vom Anfang verglichen; im zweiten
Teil wurden die bereits aufgeschriebenen Paare beim Wiederauf-
treten nur durch Anhaken kenntlich gemacht.
Die Primzahlzwillinge haben auf den beiden Streifen eine
verschiedene Stellung, weil die Zahlen, die auf dem rechten Strei-
fen unten stehen, auf dem linken Streifen oben stehen, und es
war daher eine ziemliche Sicherheit gegen das Übersehen eines
Zwillingspaares gewährleistet; auch konnten etwa verschriebene
Ziffern verbessert werden.
Die angegebenen Kontrollen hätten allein schon hingereicht,
um die Anzahl der Koinzidenzen mit Sicherheit zu erhalten; trotz-
dem wurde eine weitere Kontrolle vorgenommen, die darauf be-
ruht, daß man die summatorische Funktion
EG+6+
P , = 1
auf zwei verschiedene Arten bilden kann. Erstens erhält man
sie unmittelbar durch Addition der Funktionen bis
Zweitens ist sie auch gleich der Anzahl aller Zwillingspaare
p, p+2 und <7, <7+2, für die p + ^ + 2<6^ ist, und diese ergibt
sich, wenn man die Ordnungszahlen aller Zwillinge p, p+2 addiert,
bei denen p kleiner als 6/z^ ist. Dabei sind die Nebenzwillinge
1, 3 und 3, 5 nicht mitzuzählen. Wenn man jedoch bei der Zahl 6
die doppelt zählende Nebendarstellungen 6 = 1+5 = 3+3 zuläßt,
wie es in der vorliegenden Tafel geschehen ist, so hat man, um
die summatorische Funktion vollständig zu erhalten, zu der Summe
der Ordnungszahlen noch zwei hinzuzuzählen.
Die Ordnungszahlen der Zwillinge (und wegen der entspre-
chenden Kontrolle der GoLDBACHsehen Zahlen auch die der Prim-
PAUL STÄCKEL:
innerhalb dessen die beiden letzten Ziffern nie gleich sein können.
Auch ein Verwechseln eines Streifens mit einem andern war kaum
zu befürchten, weil immer der zuletzt verschobene Streifen zu er-
setzen war. Am wahrscheinlichsten war das Übersehen einer Ko-
inzidenz, da die Primzahlen, die nicht Zwillingen angehören, etwas
störend wirkten. Immerhin ist das Bild, das sich auch an einer ge-
drängten Stelle ergibt, noch ohne Mühe zu erkennen (siehe S. 49).
Zur Kontrolle wurde das Verschieben der Streifen aneinander
nicht nur so lange fortgesetzt, bis der erste Zwilling größer wurde
als der zweite, sondern bis ans Ende, sodaß sich die Paare wieder-
holten. Im ersten Teil, bis 10000, wurden alle Ergebnisse auf-
geschrieben und mit denen vom Anfang verglichen; im zweiten
Teil wurden die bereits aufgeschriebenen Paare beim Wiederauf-
treten nur durch Anhaken kenntlich gemacht.
Die Primzahlzwillinge haben auf den beiden Streifen eine
verschiedene Stellung, weil die Zahlen, die auf dem rechten Strei-
fen unten stehen, auf dem linken Streifen oben stehen, und es
war daher eine ziemliche Sicherheit gegen das Übersehen eines
Zwillingspaares gewährleistet; auch konnten etwa verschriebene
Ziffern verbessert werden.
Die angegebenen Kontrollen hätten allein schon hingereicht,
um die Anzahl der Koinzidenzen mit Sicherheit zu erhalten; trotz-
dem wurde eine weitere Kontrolle vorgenommen, die darauf be-
ruht, daß man die summatorische Funktion
EG+6+
P , = 1
auf zwei verschiedene Arten bilden kann. Erstens erhält man
sie unmittelbar durch Addition der Funktionen bis
Zweitens ist sie auch gleich der Anzahl aller Zwillingspaare
p, p+2 und <7, <7+2, für die p + ^ + 2<6^ ist, und diese ergibt
sich, wenn man die Ordnungszahlen aller Zwillinge p, p+2 addiert,
bei denen p kleiner als 6/z^ ist. Dabei sind die Nebenzwillinge
1, 3 und 3, 5 nicht mitzuzählen. Wenn man jedoch bei der Zahl 6
die doppelt zählende Nebendarstellungen 6 = 1+5 = 3+3 zuläßt,
wie es in der vorliegenden Tafel geschehen ist, so hat man, um
die summatorische Funktion vollständig zu erhalten, zu der Summe
der Ordnungszahlen noch zwei hinzuzuzählen.
Die Ordnungszahlen der Zwillinge (und wegen der entspre-
chenden Kontrolle der GoLDBACHsehen Zahlen auch die der Prim-