Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

52 (A. 15) P.STÄcnEL: Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. I.

dagegen tritt von 4212 bis 16800 keine weitere Null auf. Man
wird daher als gesichert ansehen dürfen, daß von einer ge-
wissen Grenze ab jede durch 6 teilbare Zahl minde-
stens eine Zwillingsdarstellung zuläßt.
Der ungerade Wert 1 hat sich nur für die drei Zahlen 12, 396
und 696 ergeben. Mit dem Werte 2 verhält es sich recht eigen-
artig. Nachdem er bis 3 846 im ganzen 56mal aufgetreten ist,
kehrt er erst bei der um 6000 höheren Zahl 9846 zurück; er
findet sich aber auch noch bei 12 744, 15126 und 15816, obwohl
die Wachstumsfunktion für die beiden letzten Zahlen schon 12
beträgt. Ob damit das Ende der Zahlen 6^ erreicht ist, die nur
zwei Zwillingsdarstellungen gestatten, muß dahingestellt bleiben.
Der Wert 3 wird im Bereich von 6 bis 16800 im ganzen 18mal
angenommen, zuletzt bei 7116, 7836 und 9276. Der Wert 4 wird
im ganzen 98mal angenommen; die letzten Zahlen 6%i, die ihn
liefern, sind 13614 und 15264.
Die Alaxima und Minima, die man auf Grund der Schwan-
kungsfunktion erwarten darf, sind deutlich ausgeprägt, wenn auch
besonders die Maxima nicht selten zu klein ausfallen. Wenn man
bedenkt, daß die Werte von G^(6^) im zweiten Zehntausend
ungefähr in denselben Grenzen schwanken wie die Werte von
(7(2%) im zweiten Tausend und hinzunimmt, daß die Primzahl-
zwillinge noch unregelmäßiger verteilt sind als die Primzahlen,
wird man kaum mehr verlangen dürfen. Eine Ausdehnung der Ta-
feln über 16800 hinaus würde unter solchen Umständen nicht die
Arbeit lohnen. Aussichtsreicher wäre es, für einen kleineren Be-
reich jenseits 100000 die Rechnung durchzuführen. Da es bis
100000 rund 10000 Primzahlen gibt (der genaue Wert ist 9592),
so wird nach der Gleichung (66) die Wachstumsfunktion für
100000 rund 40, und da die Schwankungsfunktion im Mittel 2,5
ist, so wird man hier im Durchschnitt Werte von (7^ im Betrage
von 70 erwarten dürfen.