Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

(A. 9) 5

Zunächst bemerken wir, daß es keine Beschränkung der All-
gemeinheit bedeutet, wenn pi = 0 angenommen wird. Denn durch
die Substitution p = geht unsere Differentialgleichung über in

wobei
also

^+PiM^+^(z)z = o,
PiM = 2pi + p(x), ^(a:) = + + ,
lim p^(%) = <), lim ^ (%) = 0

ist; außerdem ist


p . . . . \
Die Frage, oh der Grenzwert lim ' existiert (und gleich ^ ist),
!/ )
ist also gleichbedeutend mit der Frage, ob der Grenzwert lim
existiert (und gleich Null ist).
Indem wir wieder p statt z, und p, p statt p^ ^ schreiben,
beschäftigen wir uns also jetzt nur mit Differentialgleichungen
p" + p hr) p' + p (%) p = 0 ,
deren Koeffizienten p(a;),p(a;) für ai>aiQ stetig sind und den Be-
dingungen
lim p(G = 0 , lim p(ai) = 0
genügen. Eine solche Differentialgleichung nennen wir kurz ,,vom
Typus A".
§ 2.
In diesem Paragraphen wollen wir Differentialgleichungen vom
Typus A angeben, für welche im Gegensatz zu PoiNCARES Behaup-

Dividiert man diese Gleichung durch so strebt das erste Giied der linken
Seite für x—->oo wegen iim ^ =o dem Grenzwert Null zu. Wegen iim ^(^) = 0
!/
hat aber auch die rechte Seite den Grenzwert Null, und man erhält :
0*^ -j- nu A ^ 0 .
Daher muß o eine Wurzel dieser Gleichung sein. W. z.b.w.