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https://doi.org/10.11588/diglit.36394#0014
14 (A. 9)
OSKAR PERRON:
§ 4.
Bis jetzt waren unsere Resultate wesentlich negativer Natur.
Wir wollen nun zu positiven Sätzen übergeben, indem wir den
Koeffizienten p(^),^(^) zunächst weitere Bedingungen auferlegen,
durch welche die Existenz des Grenzwerts lim erzwungen wird.
.7
Ein erstes Resultat in dieser Richtung ist
SATZ 1. 1EC727Z die dfoe//hde7de/7 der Df//ere/^mfgfefc/m7?g com
71/pM.s A
y" + p (2) 2/ + <y (2) 7/ = 0
de^ ^edmg'MMg'e^
p(a:)<0, 7/(0:) <0 (/dr^>^o),
.so cs'/ /dr /ede.s /70'cd/ fde/hNed cer.sedn'f^deA^de reede oder fmoghmre
/zhegro/ 7/
lim y- = 0 .
Beim Beweis geben wir der Differentialgleichung lieber die
Form
(20.) ,y"=r(a;)y' + .s(;r)y;
dann sind die Funktionen r(%),.s(;r) für stetig, und es ist
(21.) r(z) > 0 , $(%) > 0 (für ^>^) ,
(22.) lim r(3?) = 0 , lim 3(2) = 0 .
Betrachten wir zunächst ein reede^ Integral 7/, so sind zwei
Fälle zu unterscheiden.
Erster Fall. Für einen gewissen Wert ^ = -u(>2o) haben y
und 7/ gleiches Vorzeichen, sodaß 7/7/'>0 ist. ^an sieht leicht,
daß diese Ungleichung dann auch für 2 >21 dauernd bestehen
bleibt. Denn nach (20.) ist
OSKAR PERRON:
§ 4.
Bis jetzt waren unsere Resultate wesentlich negativer Natur.
Wir wollen nun zu positiven Sätzen übergeben, indem wir den
Koeffizienten p(^),^(^) zunächst weitere Bedingungen auferlegen,
durch welche die Existenz des Grenzwerts lim erzwungen wird.
.7
Ein erstes Resultat in dieser Richtung ist
SATZ 1. 1EC727Z die dfoe//hde7de/7 der Df//ere/^mfgfefc/m7?g com
71/pM.s A
y" + p (2) 2/ + <y (2) 7/ = 0
de^ ^edmg'MMg'e^
p(a:)<0, 7/(0:) <0 (/dr^>^o),
.so cs'/ /dr /ede.s /70'cd/ fde/hNed cer.sedn'f^deA^de reede oder fmoghmre
/zhegro/ 7/
lim y- = 0 .
Beim Beweis geben wir der Differentialgleichung lieber die
Form
(20.) ,y"=r(a;)y' + .s(;r)y;
dann sind die Funktionen r(%),.s(;r) für stetig, und es ist
(21.) r(z) > 0 , $(%) > 0 (für ^>^) ,
(22.) lim r(3?) = 0 , lim 3(2) = 0 .
Betrachten wir zunächst ein reede^ Integral 7/, so sind zwei
Fälle zu unterscheiden.
Erster Fall. Für einen gewissen Wert ^ = -u(>2o) haben y
und 7/ gleiches Vorzeichen, sodaß 7/7/'>0 ist. ^an sieht leicht,
daß diese Ungleichung dann auch für 2 >21 dauernd bestehen
bleibt. Denn nach (20.) ist