Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Lineare Differentiaigieichungen zweiter Ordnung.

(A. 9) 15

(y y')' - .y y" + y^ = y (^y + ^y) + y^ > ^.yy + y^;
also für a: = a:^ jedenfalls (yy')'>0, sodaß ?/?/' an der Stelle a^
wächst. Wäre nun ?/y für a:>^ nicht immer positiv, so müßte
es einen kleinsten Wert ^(>^1) geben, für welchen ist*).
Die Funktion y?/ hätte dann zwischen a^ und a?g ein Maximum,
etwa an der Stelle a^, und für ^ = ^3 ergäbe sich:

0 = (yy)' ^ ^ > 0 ,

also 0>0. Wegen dieses Widerspruchs muß in der Tat
bleiben, also gewiß ,?/=)= 0. Führen wir daher durch die Substitution
y' = ^
.y
die Differentialgleichung (20.) über in:
(24.) z' + z^ = r(a;) z + ^ (a?) ,
so ist für a:>a:^ dauernd z>0, und wir haben nur zu zeigen, daß
lim z = 0
ist. Wäre im Gegenteil


lim sup z > u ,
wo u eine positive Zahl ist, so müßten nach Vorgabe einer beliebig
kleinen positiven Zahl e(<n) sich immer beliebig große Werte a:
finden lassen, für welche
z > a , z' > — e
und wegen (22.) zugleich
r < e , .$ < 6 ,
also auch
*) 3Tg ist die untere Grenze derjenigen Werte ^(>^1), für welche nicht
2/2/'>0 ist.