DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.36394#0017
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
(A. 9) 17
0 + cü < z' + z"
rz + g' < $ <
was nicht möglich ist.
Für ist hiernach durchweg
rF
z<-a,
also auch z^>m, und folglich nach (24.)
2 2 2
, ., ^ u ^ a z
z = —z" + rz + < —z" —ru + — < —z + < —— .
Wegen z< — u ist aber z=j=0, und daher besagt die letzte Unglei-
chung soviel wie:
z' 1
Hieraus folgt durch Integration für a;>a^:
I 1 ;T—3?1
> —7—w + -r-
; (a;) z (a?J
1
Danach muß , also auch z(a^) einmal positiv werden, während
z f au ^
wir doch dauernd z< —a fanden. Unsere Annahme führt somit
auf einen Widerspruch.
Wir wenden uns jetzt zu imaginären Integralen. Sei 2/1 ein
reelles Integral, für welches an der Stelle a?Q
.2/1 > 0 , > ()
ist. Diese Ungleichungen gelten dann auch für a^>a^Q, wie wir
oben beim ersten Fall gesehen haben. Ist 2/3 ein von 2/1 linear un-
abhängiges reelles Integral, so hat jedes imaginäre Integral, ab-
gesehen von einem konstanten Faktor, die Form
2/ = % 2/3 + (& + i) 2/1 (%, ^ reell) ;
2
(A. 9) 17
0 + cü < z' + z"
rz + g' < $ <
was nicht möglich ist.
Für ist hiernach durchweg
rF
z<-a,
also auch z^>m, und folglich nach (24.)
2 2 2
, ., ^ u ^ a z
z = —z" + rz + < —z" —ru + — < —z + < —— .
Wegen z< — u ist aber z=j=0, und daher besagt die letzte Unglei-
chung soviel wie:
z' 1
Hieraus folgt durch Integration für a;>a^:
I 1 ;T—3?1
> —7—w + -r-
; (a;) z (a?J
1
Danach muß , also auch z(a^) einmal positiv werden, während
z f au ^
wir doch dauernd z< —a fanden. Unsere Annahme führt somit
auf einen Widerspruch.
Wir wenden uns jetzt zu imaginären Integralen. Sei 2/1 ein
reelles Integral, für welches an der Stelle a?Q
.2/1 > 0 , > ()
ist. Diese Ungleichungen gelten dann auch für a^>a^Q, wie wir
oben beim ersten Fall gesehen haben. Ist 2/3 ein von 2/1 linear un-
abhängiges reelles Integral, so hat jedes imaginäre Integral, ab-
gesehen von einem konstanten Faktor, die Form
2/ = % 2/3 + (& + i) 2/1 (%, ^ reell) ;
2