Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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PAUL ÖTÄCKEL:

Stufe des Hauptbereichs durch das Restsystem -$o,
charakterisiert wird, das sich ergibt, wenn man der Reihe nach
die Reste gegen 2,3,5,...,p, bildet.
Zu einer %-gliedrigen Differenzenfolge (§ 10) gehörten die
T e i 1 s u m m e n

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(*-1,2,

2 u,, = 2 di + 2 dg + - - - -t- 2 d.

Wird noch 2oo = 0 gesetzt, so gelten die Gleichungen

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und eine (A+i)-gliedrige Lückenzahlfolge r-ter Stufe mit den Diffe-
renzen 2di, ..., 2d^ erscheint in der Form &, + 2 cp (x = 0,1, 2,..., /c).
Die in § 10 angestellten Überlegungen führen zu dem
LEHRSATZ I. Eine /c-gliedrige Folge 2di, ...,2d^ ist
dann und nur dann als Differenzenfolge r-ter Stufe
zulässig, wenn die Reste der /c+l Teil summen (2u„) bei
keiner der r Primzahlen 3,5, ...,p, ein vollständiges
Rest System ausmachen.
Beweis. Die Bedingung ist notwendig. Bilden nämlich die
Reste der Teilsummen (2 cp) ein vollständiges Restsystem gegen
eine der Primzahlen p„, so gilt dasselbe für die /c+1 Zahlen ^+2u^,
mithin ist mindestens eine von ihnen durch p^ teilbar. Die Be-
dingung ist aber auch hinreichend. Fehlt nämlich unter den
Resten gegen die Primzahlen p^, je eine Zahl p, so gehört, weil
p notwendig von Null verschieden ist, zu dem charakteristischen
Restsystem 1, Pi—p, P2—P,eine bestimmte Lückenzahl
zp des Hauptabschnitts, und da die Zahlen + 2^ gegen p^ die-
selben Reste lassen wie die Zahlen 2u^ —p, so ist keine von ihnen
durch p„ teilbar.
Aus dem Lehrsatz I ergibt sich für beständige Folgen ein be-
reits in § 10 ausgesprochener Satz, dem hier die folgende einfachere
Form gegeben werde:
LEHRSATZ II. Wird die Zahl 7? so gewählt, daß
pR^.^+l< Px+i ist, so ist die P-gliedrige Folge 2(p,...,2(P,
dann und nur dann eine beständige Differenzen-
folge, wenn die Reste der Teilsummen (2 cp) bei kei-