Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. IIP (A. 14) 13

Auf diese Art kann man weitergehen und erkennt, daß es bestän-
dige Folgen gibt, deren (ungerade) Gliederzahl größer als eine ge-
gebene, beliebig große Zahl ist und bei denen alle Glieder un-
gerader Ordnung gleich Vier sind. Es ist klar, daß der Satz sieb
von 2 und 4 auf jede gerade Zahl ausdehnen läßt.
Beispiel III. Wenn man eine beständige Folge mit der
umgekehrten Folge zusammensetzt, so erhält man nach den Lehr-
sätzen VII und VIII wieder eine beständige Folge, und zwar ge-
langt man so zu symmetrischen Folgen. Zum Beispiel ist die
Folge (10,8,6,4,2) mit den Teilsummen (0,10,18,24,28,30) be-
ständig; die umgekehrte Folge (2,4,6,8,10) hat die Teilsummen
(0,2,6,12,20,30). Weil jetzt /c + ^ + 2 = 12 ist, hat man die Prim-
zahlen 3,5,7,11 bei den Kongruenzen (175) zu benutzen. Man
kann für die Nichtreste nehmen:

p
3
3
7
11
2
1
1
9
i
3
1
3
%—M
i
3
0
6

Dann wird 2Z = 28 + 2310-y. Der kleinste zulässige Wert ist 28.
Mithin sind die neuen Teilsummen (0,10,18,24,28,30,34,40,48,58)
mit der Differenzenfolge (10,8,6,4,2,4,6,8,10); daß diese be-
ständig ist, ergibt sich auch aus einem allgemeineren, in § 10
(Teil II, S. 15) bewiesenen Satze.

§ 21
Anwendungen auf Lücken- und Primzahlfolgen mit gegebenen
Differenzen
In § 11 wurde die Anzahl der Lückenzahlfolgen r-ter Stufe
untersucht, die gegebene Differenzen 2<5i,...,2<5% aufweisen und
mit einer Lückenzahl des Hauptabschnitts beginnen. Die dort
auf gestellten Formeln lassen sich mit Hilfe der Sätze der §§ 18,
19 und 20 vereinfachen und vervollständigen. Dabei wird die
Wichtigkeit der Teilsummen (2o^) in ein noch helleres Licht tre-