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https://doi.org/10.11588/diglit.36433#0008
8 (A. 14)
PAUL STÄCKEL:
xu setzen. Wird noch 2cj = 0 eingeführt, so ist der Lehrsatz I zu
ersetzen durch den
LEHRSATZ V. Eine (2^-T)-gliedrige symmetrische
Folge 2üi....,2<5i ist dann und nur dann als Diffe-
renzenfolge r-ter Stufe zulässig, wenn die Reste der
2% Zahlen + (ü, + 2 op) hei keiner der r Primzahlen
3,5, ...,p, ein vollständiges Restsystem ausmachen.
Die Anzahl F(p^,) kann hier gerade oder ungerade sein, und
es ist daher nicht ausgeschlossen, daß es Primzahlen von Maximal -
Charakter gibt. Für solche Primzahlen gilt der
LEHRSATZ VI. Wenn eine Primzahl für eine sym-
metrische Differenzenfolge Maximalcharakter trägt,
so sind die Mitten der zugehörigen Lückenzahlfol-
gen durch sie teilbar.
Beweis. Hat p„ Maximalcharakter, so sind die p^ —1 Reste
der 2^ Zahlen +(d, + 2u;) die Zahlen ±1, +2,...,±y(p^ —1), und
damit keine der Zahlen 77^ + (<5,-!-2n)) den Teiler p„ hat, muß np
durch teilbar sein.
Handelt es sich um die mehrfache Darstellung der geraden
Zahlen als Summen mittels derjenigen Lückenzahlfolgen r-ter
Stufe, denen eine gegebene symmetrische (2^—l)-gliedrige Diffe-
renzenfolge zukommt, so hat man (§ 16, Teil II, S. 38) die ent-
sprechenden Glieder von zwei Folgen w^(d,+2u)) und n^±(3^+2uj
zu addieren und erhält als gemeinsamen Wert derSummen /%,+ ?%,.
Hat also die Primzahl p„ Maximalcharakter, so gestatten nur
solche gerade Zahlen die verlangte Darstellung, die den Teiler p^,
besitzen. Wenn daher den Primzahlen p, p',p",... Maximalcharak-
ter zukommt, so sind nur die durch das Produkt <2, = p- --
teilbaren geraden Zahlen darstellbar. Läßt man die Stufenzahl
wachsen, so behält <2,. von der 7?-ten Stufe ab einen festen Wert,
der mit (1 bezeichnet werden möge.
Bei den späteren Untersuchungen wird eine besondere Art
von beständigen symmetrischen Diffcrenzenfolgen eine Rolle spie-
len, bei denen nämlich sämtliche Differenzen denselben Wert 2 a
haben. Dann ist in der Bezeichnung von §18 2n^ = 2%n, und diese
k+1 Vielfachen von 2 a bilden ein vollständiges Restsystem für
jede Primzahl p,<W-f-l, außer wenn a durch p, teilbar ist. Folg-
lich muß nach dem Lehrsatz II a alle Primzahlen Pi, P2!---?PR
zu Teilern haben, und es wird 2a gleich einem Vielfachen von 2P^.
PAUL STÄCKEL:
xu setzen. Wird noch 2cj = 0 eingeführt, so ist der Lehrsatz I zu
ersetzen durch den
LEHRSATZ V. Eine (2^-T)-gliedrige symmetrische
Folge 2üi....,2<5i ist dann und nur dann als Diffe-
renzenfolge r-ter Stufe zulässig, wenn die Reste der
2% Zahlen + (ü, + 2 op) hei keiner der r Primzahlen
3,5, ...,p, ein vollständiges Restsystem ausmachen.
Die Anzahl F(p^,) kann hier gerade oder ungerade sein, und
es ist daher nicht ausgeschlossen, daß es Primzahlen von Maximal -
Charakter gibt. Für solche Primzahlen gilt der
LEHRSATZ VI. Wenn eine Primzahl für eine sym-
metrische Differenzenfolge Maximalcharakter trägt,
so sind die Mitten der zugehörigen Lückenzahlfol-
gen durch sie teilbar.
Beweis. Hat p„ Maximalcharakter, so sind die p^ —1 Reste
der 2^ Zahlen +(d, + 2u;) die Zahlen ±1, +2,...,±y(p^ —1), und
damit keine der Zahlen 77^ + (<5,-!-2n)) den Teiler p„ hat, muß np
durch teilbar sein.
Handelt es sich um die mehrfache Darstellung der geraden
Zahlen als Summen mittels derjenigen Lückenzahlfolgen r-ter
Stufe, denen eine gegebene symmetrische (2^—l)-gliedrige Diffe-
renzenfolge zukommt, so hat man (§ 16, Teil II, S. 38) die ent-
sprechenden Glieder von zwei Folgen w^(d,+2u)) und n^±(3^+2uj
zu addieren und erhält als gemeinsamen Wert derSummen /%,+ ?%,.
Hat also die Primzahl p„ Maximalcharakter, so gestatten nur
solche gerade Zahlen die verlangte Darstellung, die den Teiler p^,
besitzen. Wenn daher den Primzahlen p, p',p",... Maximalcharak-
ter zukommt, so sind nur die durch das Produkt <2, = p- --
teilbaren geraden Zahlen darstellbar. Läßt man die Stufenzahl
wachsen, so behält <2,. von der 7?-ten Stufe ab einen festen Wert,
der mit (1 bezeichnet werden möge.
Bei den späteren Untersuchungen wird eine besondere Art
von beständigen symmetrischen Diffcrenzenfolgen eine Rolle spie-
len, bei denen nämlich sämtliche Differenzen denselben Wert 2 a
haben. Dann ist in der Bezeichnung von §18 2n^ = 2%n, und diese
k+1 Vielfachen von 2 a bilden ein vollständiges Restsystem für
jede Primzahl p,<W-f-l, außer wenn a durch p, teilbar ist. Folg-
lich muß nach dem Lehrsatz II a alle Primzahlen Pi, P2!---?PR
zu Teilern haben, und es wird 2a gleich einem Vielfachen von 2P^.