10 (A. 14)
PAUL STÄCKEL:
Es gibt Mittel, um aus einer bekannten beständigen Folge
neue Folgen dieser Art herzuleiten. Zunächst gilt der
LEHRSATZ VII. Schreibt man die Glieder einer un-
symmetrischen beständigen Folge in umgekehrter
Reihenfolge, so entsteht wieder eine beständige
Folge.
Erster Beweis. Die Teilsummen der umgekehrten Folge
sind 2r^ = 2a^ —2a^_^, sie haben also gegen p^ ebenfalls F(pJ ver-
schiedene Reste.
Zweiter Beweis. Liegt die letzte Zahl der im Hauptab-
schnitt beginnenden Lückenzahlfolge (&, + 2a,J, also &, + 2a%, im
Abschnitt zwischen 2(?%—l)P,, und 2??2.jP,, so sind die Zahlen
(174) 2mP,-(^+2a^_J = (2wP,-u,-2a^) + (2c^-2o^) (x = 0,l,...,/r)
Lückenzahlen r-ter Stufe und bilden eine im Hauptabschnitt be-
ginnende Lückenzahlfolge mit den umgekehrten Differenzen.
Zur Erzeugung neuer beständiger Differenzenfolgen führt
ferner der von WEINREICH aufgestellte
LEHRSATZ VIII. Sind 2(?o,2(7i,...,2c^. und 2rQ,2Ti,...,2i;
die Teilsummen von zwei beständigen Differenzen-
folgen, so lassen sich beliebig viele Zahlen 2Z so
bestimmen, daß aus den P + ^+2 Zahlen
2(?o, 2(ü, ..., 2^, 2Z + 2ro, 2X + 2Ti, ..., 2Z + 2r,,
wenn man sic der Größe nach ordnet und gleiche
Zahlen nur einmal hinschreibt, die Teilsummen einer
beständigen Folge hervorgehen (Zusammensetzung
von zwei beständigen Folgen).
Beweis. Bei den Teilsummen 2a,^ fehle unter den Resten
gegen p^ die Zahl p, bei den Teilsummen 27; die Zahl ip. Be-
stimmt man 2Z so, daß für alle Primzahlen p„< /r + ^+2 die Kon-
gruenzen
(175) 2Z p-^(mod. pj
erfüllt sind, so fehlt bei den Teilsummen der zusammengesetzten
Folge der Rest p, und diese Folge ist nach Lehrsatz II beständig.
PAUL STÄCKEL:
Es gibt Mittel, um aus einer bekannten beständigen Folge
neue Folgen dieser Art herzuleiten. Zunächst gilt der
LEHRSATZ VII. Schreibt man die Glieder einer un-
symmetrischen beständigen Folge in umgekehrter
Reihenfolge, so entsteht wieder eine beständige
Folge.
Erster Beweis. Die Teilsummen der umgekehrten Folge
sind 2r^ = 2a^ —2a^_^, sie haben also gegen p^ ebenfalls F(pJ ver-
schiedene Reste.
Zweiter Beweis. Liegt die letzte Zahl der im Hauptab-
schnitt beginnenden Lückenzahlfolge (&, + 2a,J, also &, + 2a%, im
Abschnitt zwischen 2(?%—l)P,, und 2??2.jP,, so sind die Zahlen
(174) 2mP,-(^+2a^_J = (2wP,-u,-2a^) + (2c^-2o^) (x = 0,l,...,/r)
Lückenzahlen r-ter Stufe und bilden eine im Hauptabschnitt be-
ginnende Lückenzahlfolge mit den umgekehrten Differenzen.
Zur Erzeugung neuer beständiger Differenzenfolgen führt
ferner der von WEINREICH aufgestellte
LEHRSATZ VIII. Sind 2(?o,2(7i,...,2c^. und 2rQ,2Ti,...,2i;
die Teilsummen von zwei beständigen Differenzen-
folgen, so lassen sich beliebig viele Zahlen 2Z so
bestimmen, daß aus den P + ^+2 Zahlen
2(?o, 2(ü, ..., 2^, 2Z + 2ro, 2X + 2Ti, ..., 2Z + 2r,,
wenn man sic der Größe nach ordnet und gleiche
Zahlen nur einmal hinschreibt, die Teilsummen einer
beständigen Folge hervorgehen (Zusammensetzung
von zwei beständigen Folgen).
Beweis. Bei den Teilsummen 2a,^ fehle unter den Resten
gegen p^ die Zahl p, bei den Teilsummen 27; die Zahl ip. Be-
stimmt man 2Z so, daß für alle Primzahlen p„< /r + ^+2 die Kon-
gruenzen
(175) 2Z p-^(mod. pj
erfüllt sind, so fehlt bei den Teilsummen der zusammengesetzten
Folge der Rest p, und diese Folge ist nach Lehrsatz II beständig.