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https://doi.org/10.11588/diglit.36433#0018
18 (A. 14)
PAUL STÄCKEL:
Beweis. Haben zwei Teilsummen, 2u^, und 2c^, ver-
schiedene Reste gegen p, so ist die wirksame Zahl 2z&,^ nicht
durch p teilbar; sind sie aber kongruent mod. p, so findet sich in
der Zeile mit dem Eingang (2u,J der Primteiler p, und umgekehrt.
Die Teilsumme mit dem größten Zeiger, die einen bestimmten
Rest $ liefert, soll die letzte Teilsumme des Restes $ genannt
werden. Es gibt so viele letzte Teilsummen, als es verschiedene
Reste gibt, also E(p). Ist 2cr^ die letzte Teilsumme des Restes 3,
so ist die Zeile mit dem Eingang (2u,J frei von p, denn die Zahlen
2cr„^i,...,2o'a haben Reste, die von 3 verschieden sind. Ausgenom-
men ist nur die Teilsumme 2%, die sicher die letzte Teilsumme
ihres Restes ist, weil es keine Zeile dieses Eingangs gibt. Ist um-
gekehrt die Zeile mit dem Eingang (2c^) frei von p, so ist 2c^
die letzte Teilsumme ihres Restes. Folglich gibt es so viele letzte
Teilsummen, als es von p freie Zeilen gibt, das heißt z(p), und
dazu kommt noch die letzte Teilsumme 2o^, sodaß im ganzen
E(p)^=z(p) + 1 wird.
Die Gleichungen für die Multiplikatoren lauten jetzt
(182')
(183')
^,(p)
Vp'")
p'-z(p')-!
p"— A* — 1 p"— A — 1
(p'gA + l) ;
(p">A-tl) .
Die zweite Gleichung zeigt, daß eine Primzahl zweiter Art wirk-
sam ist, sobald sie auch nur in einer Zeile des Dreiecks auftritt.
Folglich sind die wirksamen Primzahlen identisch
mit den Primteilern der wirksamen Zahlen, die
größer als A: + l ausfallen.
Man hat es nicht nötig, sich für jede neue Folge (2c„) das
Dreieck der wirksamen Zahlen von neuem herzustellen; es genügt
vielmehr, ein für allemal eine Tafel anzufertigen, die als Eingänge
der Spalten die Reihe der geraden Zahlen 2,4, 6, ... zeigt, als
Eingänge der Zeilen 0, 2,4, 6,... und die in der ersten Zeile für
die Eingänge der Spalten deren ungerade Primteiler angibt, wäh-
rend in jeder folgenden Zeile die Teilersysteme um je eine Spalte
nach rechts verschoben sind. Den Anfang einer solchen Tafel
bildet die Tafel 17. Für die Untersuchung einer gegebenen Diffe-
PAUL STÄCKEL:
Beweis. Haben zwei Teilsummen, 2u^, und 2c^, ver-
schiedene Reste gegen p, so ist die wirksame Zahl 2z&,^ nicht
durch p teilbar; sind sie aber kongruent mod. p, so findet sich in
der Zeile mit dem Eingang (2u,J der Primteiler p, und umgekehrt.
Die Teilsumme mit dem größten Zeiger, die einen bestimmten
Rest $ liefert, soll die letzte Teilsumme des Restes $ genannt
werden. Es gibt so viele letzte Teilsummen, als es verschiedene
Reste gibt, also E(p). Ist 2cr^ die letzte Teilsumme des Restes 3,
so ist die Zeile mit dem Eingang (2u,J frei von p, denn die Zahlen
2cr„^i,...,2o'a haben Reste, die von 3 verschieden sind. Ausgenom-
men ist nur die Teilsumme 2%, die sicher die letzte Teilsumme
ihres Restes ist, weil es keine Zeile dieses Eingangs gibt. Ist um-
gekehrt die Zeile mit dem Eingang (2c^) frei von p, so ist 2c^
die letzte Teilsumme ihres Restes. Folglich gibt es so viele letzte
Teilsummen, als es von p freie Zeilen gibt, das heißt z(p), und
dazu kommt noch die letzte Teilsumme 2o^, sodaß im ganzen
E(p)^=z(p) + 1 wird.
Die Gleichungen für die Multiplikatoren lauten jetzt
(182')
(183')
^,(p)
Vp'")
p'-z(p')-!
p"— A* — 1 p"— A — 1
(p'gA + l) ;
(p">A-tl) .
Die zweite Gleichung zeigt, daß eine Primzahl zweiter Art wirk-
sam ist, sobald sie auch nur in einer Zeile des Dreiecks auftritt.
Folglich sind die wirksamen Primzahlen identisch
mit den Primteilern der wirksamen Zahlen, die
größer als A: + l ausfallen.
Man hat es nicht nötig, sich für jede neue Folge (2c„) das
Dreieck der wirksamen Zahlen von neuem herzustellen; es genügt
vielmehr, ein für allemal eine Tafel anzufertigen, die als Eingänge
der Spalten die Reihe der geraden Zahlen 2,4, 6, ... zeigt, als
Eingänge der Zeilen 0, 2,4, 6,... und die in der ersten Zeile für
die Eingänge der Spalten deren ungerade Primteiler angibt, wäh-
rend in jeder folgenden Zeile die Teilersysteme um je eine Spalte
nach rechts verschoben sind. Den Anfang einer solchen Tafel
bildet die Tafel 17. Für die Untersuchung einer gegebenen Diffe-