24 (A. 14)
PAUL STÄCKEL:
ist 2e>2u%, so tritt es ans Ende. Die neuen Primzahlen erster
Art y/ sind erstens die alten p'<k+l und zweitens k+2, wenn es
eine Primzahl ist. Die Zahl k+2 tritt dann aus der Reihe der
Primzahlen zweiter Art in die der ersten Art. Bei den neuen
Primzahlen zweiter Art yr" geht k+2 verloren, falls es eine Prim-
zahl ist. Neue Primzahlen zweiter Art können nur für 2e>2o%
hin zutreten.
Die Tafel 18 zeigt das erweiterte Dreieck der wirk-
samen Zahlen. Hinzugekommen sind die Einschubzeile
und die Einschubspalte; als gemeinsamer Name möge für
beide Einschubreihe gebraucht werden. Die Einschubzahl 2e
findet sich nur in den Einschubreihen. Jetzt gilt der
LEHRSATZ XI. Wenn die Einschubzahl keiner der
ursprünglichen Teilsummen gegen eine Primzahl p
kongruent ist, so ist die Anzahl der von p freien
Zeilen des erweiterten Dreiecks um Eins größer als
beim ursprünglichen Dreieck. Ist aber die Einschub-
zahl mindestens einer der ursprünglichen Teilsummen
kongruent, so bleibt die Anzahl der von p freien
Zeilen erhalten.
Beweis. I. Es sei keine der Teilsummen (2u^)der
Einschubzahl 2e kongruent. Dann haben die ersten p + 1
Zeilen des erweiterten Dreiecks denselben Charakter wie die ersten
p+1 Zeilen des ursprünglichen Dreiecks, und dasselbe gilt von den
letzten /c—p —1 Zeilen. In der Einschubzeile fehlt der Primteiler
p, folglich ist die Anzahl der von p freien Zeilen im erweiterten
Dreieck ^(p) = z(p) + l.
II. Mindestens eine d e r T e i 1 s u m m e n (2 ist der
Einschub zahl 2e kongruent. Dann sind drei Möglichkeiten
zu unterscheiden.
1. Die erste Teilsumme 2o^, die kongruent 2e ist, steht in
der Einschubzeile. Dann ist 2>p, keine der in der Einschubzeile
stehenden Differenzen ist durch p teilbar, und man hat daher
Üp) = *(p)'
2. Die erste Teilsumme 2c^, die kongruent 2e ist, steht in
der Einschubspalte, und die Zeile mit dem Eingang (2u^) ist im
ursprünglichen Dreieck frei von p. Dann ist keine der folgenden
Teilsummen 2p^i, ...,2(7% kongruent 2e. Mithin verliert zwar die
PAUL STÄCKEL:
ist 2e>2u%, so tritt es ans Ende. Die neuen Primzahlen erster
Art y/ sind erstens die alten p'<k+l und zweitens k+2, wenn es
eine Primzahl ist. Die Zahl k+2 tritt dann aus der Reihe der
Primzahlen zweiter Art in die der ersten Art. Bei den neuen
Primzahlen zweiter Art yr" geht k+2 verloren, falls es eine Prim-
zahl ist. Neue Primzahlen zweiter Art können nur für 2e>2o%
hin zutreten.
Die Tafel 18 zeigt das erweiterte Dreieck der wirk-
samen Zahlen. Hinzugekommen sind die Einschubzeile
und die Einschubspalte; als gemeinsamer Name möge für
beide Einschubreihe gebraucht werden. Die Einschubzahl 2e
findet sich nur in den Einschubreihen. Jetzt gilt der
LEHRSATZ XI. Wenn die Einschubzahl keiner der
ursprünglichen Teilsummen gegen eine Primzahl p
kongruent ist, so ist die Anzahl der von p freien
Zeilen des erweiterten Dreiecks um Eins größer als
beim ursprünglichen Dreieck. Ist aber die Einschub-
zahl mindestens einer der ursprünglichen Teilsummen
kongruent, so bleibt die Anzahl der von p freien
Zeilen erhalten.
Beweis. I. Es sei keine der Teilsummen (2u^)der
Einschubzahl 2e kongruent. Dann haben die ersten p + 1
Zeilen des erweiterten Dreiecks denselben Charakter wie die ersten
p+1 Zeilen des ursprünglichen Dreiecks, und dasselbe gilt von den
letzten /c—p —1 Zeilen. In der Einschubzeile fehlt der Primteiler
p, folglich ist die Anzahl der von p freien Zeilen im erweiterten
Dreieck ^(p) = z(p) + l.
II. Mindestens eine d e r T e i 1 s u m m e n (2 ist der
Einschub zahl 2e kongruent. Dann sind drei Möglichkeiten
zu unterscheiden.
1. Die erste Teilsumme 2o^, die kongruent 2e ist, steht in
der Einschubzeile. Dann ist 2>p, keine der in der Einschubzeile
stehenden Differenzen ist durch p teilbar, und man hat daher
Üp) = *(p)'
2. Die erste Teilsumme 2c^, die kongruent 2e ist, steht in
der Einschubspalte, und die Zeile mit dem Eingang (2u^) ist im
ursprünglichen Dreieck frei von p. Dann ist keine der folgenden
Teilsummen 2p^i, ...,2(7% kongruent 2e. Mithin verliert zwar die