Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. HP (A. 14) 27

11. wenn mindestens eine der Teilsummen (2u^) der Einschub-
zahl 2e kongruent ist:

(")

Mi(yb) = y/—z(yb) —1 = Tfi(yr') (V<A: + l),
Mi(A:+2) = A:+2—z(A:+2)—l = iVg(A:+2) (wenn A:+2 Primzahl),

Ms(^) -


(^)-i

V;-2


A:-l

/c-2

(yr"> A: + 2).

Bildet man nunmehr die Schwankungsfunktionen 6*(2c,J und
6*(2^, 2g), so spielen diejenigen Primzahlen eine besondere Rolle,
gegen die keine der Teilsummen (2u^) der Einschubzahl 2a kon-
gruent ist. Wenn diese Primzahlen mit y bezeichnet werden, so
gilt die Formel

(185)


2e) = y(2.„) . n

yr"— A — 1
V— /c — 2

?-2(^-2

Es genügt, die Produkte auf die Primzahlen yr" und zu er-
strecken, die nicht größer als die größere der beiden Zahlen
und e sind; bei den Primzahlen yr", die größer als diese beiden
Zahlen sind und die daher auch zu den Primzahlen ^ gehören,
würden sich die entsprechenden Faktoren der beiden Produkte
aufheben.

Weitere Beziehungen zwischen Schwankungsfunktionen er-
geben sich, wenn man das Einschieben wiederholt. Es mögen also
aus der ursprünglichen Folge der A+l Teilsummen (2u„) die er-
weiterten Folgen (2o^, 2ai) und (2c^, 2 Ei, 2Eg) entstehen; daß die
Einschub zahlen 2 Ei und 2 Eg von den ursprünglichen Teilsummen
(2o^) und voneinander verschieden sein müssen, braucht kaum
erwähnt zu werden. Bei den folgenden Untersuchungen darf man
sich auf Primzahlen beschränken, die nicht größer sind als die
größte der drei Zahlen Ei, Eg. Das Zeichen y^' bedeute die
Primzahlen, die größer als /i; + 2; das Zeichen yrj diejenigen, die
größer als /c+3 sind; das Zeichen ^ die Primzahlen, gegen die
keine der Teilsummen (2u„) kongruent 2Ei ist; das Zeichen gg die
Primzahlen, gegen die keine der Teilsummen (2u„) und 2Ei kon-
gruent 2Eg ist. Dann entspringt aus der Formel (185) die Verall-
gemeinerung