Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. III.

(A. 14) 33

(189) -2a,)
zu Recht besteht. Nach § 21, Gleichung (177) ist daher
(190) Cf "0 (2 77) - - A, (2 ^, 2 77 + 2 n,J ,
und für r>7? wird nach Gleichung (90'):
j3(2A+2)
(191) G+'(2n) - . 2„ . G.(2.„ 2^ + 2+ .
Von genügend hoher Stufe ab haben die Schwankungsfunktionen
alle denselben Wert C(2o^,277 + 2a^), und zwar setzt sich dieser
zusammen aus den Multiplikatoren erster und zweiter Art:

(182")
(183")

W(P') =p'-3(p')-l
p"-z(p")-l

+(p")

2A-2

2A + 1—z(p")
p"-2A-2

(p' < 2A + 2),
(p">2A+2);

das Zeichen z (p) bezieht sich hier auf das Dreieck der wirksamen
Zahlen, das mittels der 2A + 2 Teilsummen (2a^,277 + 2a^) zu
bilden ist.
Beim Übergang zu den Primzahlen hat man die rechte Seite
der Gleichung (189) mit der (2A + 2)-ten Potenz der Dichtigkeit,
zu multiplizieren und dann die Stufenzahl r ins Unend-
liche wachsen zu lassen. Beim Grenzübergang stößt man auf
ähnliche Schwierigkeiten, wie sie schon früher in solchen Fällen
aufgetreten sind (vgl. Teil I, S. 18—20, 26—27). Der Erfolg recht-
fertigt es, daß auch hier als Grenzwert der Schwankungsfunktion
N, (2a,;, 277 + 2a,;) der für alle genügend hohen Stufen gültige Wert
N(2cr^, 277 + 2^) genommen wird. Ebenso erscheint die Wachs-
tumsfunktion von (W^'(277) in der Gestalt

(192)

fW">(277) = A

(7t(2 77))2*+3
"(277^+'^

Hiermit ist die asymptotische Darstellung wiedergewonnen, die
in § 16 (Teil II, S. 39) auf Grund anderer Betrachtungen auf-
gestellt worden ist:


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