Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

40 (A. 14)

PAUL STÄCKEL:

,, P —k —1 k + 1
,(p) = A und A/,(p) = = 1 + —'
Ist im Quadrat 2 a —2 a oder 2%+ 2% durch p teilbar, so hat man
festzustellen, wie oft die Zahl 2a unter den Zahlen 2%^ vor-
kommt; jedesmal, wenn die Gleichung 2%^ = 2% gilt, erhält man
eine Zeile des Quadrats, die eine durch p teilbare Zahl enthält,
und weil die Zahlen einer Zeile einem Abschnitt von a^ + 1 ge-
raden Zahlen entnommen sind, kann höchstens eine von ihnen
durch p teilbar sein; mithin enthält das Dreieck A(2a^, 277 +2 aj
so viel mit dem Primteiler p behaftete Zeilen, als die Zahl 2a im
Dreieck A(2aJ vorkommt. Um den Fall 2a = 0 zu umfassen,
braucht man nur das Dreieck A'(2aJ der Zahlen 2%/; zu be-
trachten. Wird demnach die Anzahl der Zahlen des Dreiecks
A'(2a^), die gleich 2a sind, mit p(2a) bezeichnet, so ist
z(p) = 2k + l —y(2a), und das gilt auch für 2a = 0, weilp(0)=k + l
wird. Man erhält jetzt die Gleichungen


d^(p) = 1, wenn keine der Zahlen 277 + 2


p-y(2u)-2A-2 ^ ^ _
p — 2k — 2 p — 2k — 2
oder 2a + 2a durch p teilbar ist.

durch p teilbar,
-, wenn 2 77 — 2 a

Es ist zu beachten, daß derselbe Multiplikator herauskommt,
gleichgültig, ob 2a —2a oder 2a + 2a den Teiler p besitzt.
Der größte Wert des Multiplikators ergibt sich, wenn 2 72
selbst den Teiler p hat; denn wenn 2a >0 ist, wird p(2n)<^k.
Die obere Schranke k ist verwirklicht, wenn alle Differenzen
2^ gleich 2a sind, denn alsdann hat man
(194) 2^io = 2^21 = - - - = 2w^_i = - - - = 2z^_i = 2a .
Wie in § 19 gezeigt wurde, gibt es beständige Folgen, deren
k Glieder alle gleich 2a sind, wenn man nämlich 2a = 2ZQ setzt,
wo, wie früher, px<^k + l<p^i ist. Daß nur für solche Folgen
7/(2a) = k wird, erkennt man so. Wenn man die Zeilen des Drei-
ecks A(2n,J durchläuft, sei zuerst 2w^ = 2a, also 2a^ = 2a + 2c^.
Ist in einer der folgenden Zeilen 2zp,,„ = 2n, also 2o„ = 2n + 2a„,