42 (A. 14)
PAUL STÄCKEL:
Auch hier macht es keinen Unterschied, ob 2n —2u oder 2?i + 2a
den Teiler p besitzt. Für Beispiele sei auf den nächsten Para-
graphen verwiesen.
Vierte Klasse. Wenn ist, können Zahlen des Drei-
ecks A(2uJ durch p teilbar sein, und man hat zuerst in ihm die
Anzahl ^(p) der von p freien Zeilen festzustellen. Das untere
Dreieck im Dreieck A(2u^, 2^ + 2o^) liefert dann zu z(p) den
ersten Beitrag ^(p). Den zweiten Beitrag liefern die ersten /c + 1
Zeilen dieses Dreiecks. Ist keine der Zahlen 2?i±2zu^ durch p
teilbar, so ist der zweite Beitrag ^(p) + l, und eswirdz(p) = 2<^(p) + l.
Ist 2% seihst durch p teilbar, so ist der zweite Beitrag gleich Null,
und es wird z(p) = ^(p). Ist 2?a nicht durch p teilbar, wohl aber
mindestens eine der Zahlen 2?i + 2w^, so kann man zunächst nur
schließen, daß z(p) zwischen <^(p) und 2<^(p) + l liegt, die Grenzen
eingeschlossen. Um z(p) zu ermitteln, muß man auch die Zahlen
des Quadrats Q(2u^, 2^ + 2uJ auf ihre Teilbarkeit durch p unter-
suchen, und jetzt kann in einer Zeile mehr als eine durch p teil-
bare Zahl Vorkommen.
Ebenso wie in § 21 die Tafel 17 des großen wirksamen Drei-
ecks zur Berechnung der Schwankungsfunktion N(2u^) aufgestellt
wurde, dient zur Bestimmung des Charakters, der dem Quadrat
Q(2o^, 2n+ 2(7^) bezüglich der ungeraden Primzahlen innewohnt,
das große wirksame Quadrat (Tafel 21).
Oberhalb der von links oben nach rechts unten laufenden
Hauptdiagonale findet man das wirksame Dreieck der Tafel 16.
ln der Diagonale steht das Zeichen p und besagt, daß für diese
Felder jede ungerade Primzahl als Primteiler (der Null) aufzu-
fassen ist. Die Zeilen des Dreieck sind aber nach links fort-
gesetzt worden, so zwar, daß das Feld mit dem Eingang (2u) der
Spalte und (2^) der Zeile, a<^, die ungeraden Primteiler der
Zahl 2^ — 2u enthält. Hieraus folgt, daß in Feldern, die sym-
metrisch zur Hauptdiagonale liegen, dieselben Primteiler stehen.
Um das große wirksame Quadrat für den Primteiler p auf
das Quadrat Q(2o^, 2n + 2o^) anzuwenden, denke man sich, wie
beim großen wirksamen Dreieck, zuerst alle Zeilen und alle Spal-
ten jede für sich zugedeckt. Die Zeile mit dem Eingang (2nJ
enthält in der Spalte mit dem Eingang (2uJ die Primteiler der
Zahl + 2w^; das Pluszeichen gilt, wenn x>2, das Minuszeichen,
wenn ist. Mithin enthält, dieselbe Zeile in der Spalte mit
PAUL STÄCKEL:
Auch hier macht es keinen Unterschied, ob 2n —2u oder 2?i + 2a
den Teiler p besitzt. Für Beispiele sei auf den nächsten Para-
graphen verwiesen.
Vierte Klasse. Wenn ist, können Zahlen des Drei-
ecks A(2uJ durch p teilbar sein, und man hat zuerst in ihm die
Anzahl ^(p) der von p freien Zeilen festzustellen. Das untere
Dreieck im Dreieck A(2u^, 2^ + 2o^) liefert dann zu z(p) den
ersten Beitrag ^(p). Den zweiten Beitrag liefern die ersten /c + 1
Zeilen dieses Dreiecks. Ist keine der Zahlen 2?i±2zu^ durch p
teilbar, so ist der zweite Beitrag ^(p) + l, und eswirdz(p) = 2<^(p) + l.
Ist 2% seihst durch p teilbar, so ist der zweite Beitrag gleich Null,
und es wird z(p) = ^(p). Ist 2?a nicht durch p teilbar, wohl aber
mindestens eine der Zahlen 2?i + 2w^, so kann man zunächst nur
schließen, daß z(p) zwischen <^(p) und 2<^(p) + l liegt, die Grenzen
eingeschlossen. Um z(p) zu ermitteln, muß man auch die Zahlen
des Quadrats Q(2u^, 2^ + 2uJ auf ihre Teilbarkeit durch p unter-
suchen, und jetzt kann in einer Zeile mehr als eine durch p teil-
bare Zahl Vorkommen.
Ebenso wie in § 21 die Tafel 17 des großen wirksamen Drei-
ecks zur Berechnung der Schwankungsfunktion N(2u^) aufgestellt
wurde, dient zur Bestimmung des Charakters, der dem Quadrat
Q(2o^, 2n+ 2(7^) bezüglich der ungeraden Primzahlen innewohnt,
das große wirksame Quadrat (Tafel 21).
Oberhalb der von links oben nach rechts unten laufenden
Hauptdiagonale findet man das wirksame Dreieck der Tafel 16.
ln der Diagonale steht das Zeichen p und besagt, daß für diese
Felder jede ungerade Primzahl als Primteiler (der Null) aufzu-
fassen ist. Die Zeilen des Dreieck sind aber nach links fort-
gesetzt worden, so zwar, daß das Feld mit dem Eingang (2u) der
Spalte und (2^) der Zeile, a<^, die ungeraden Primteiler der
Zahl 2^ — 2u enthält. Hieraus folgt, daß in Feldern, die sym-
metrisch zur Hauptdiagonale liegen, dieselben Primteiler stehen.
Um das große wirksame Quadrat für den Primteiler p auf
das Quadrat Q(2o^, 2n + 2o^) anzuwenden, denke man sich, wie
beim großen wirksamen Dreieck, zuerst alle Zeilen und alle Spal-
ten jede für sich zugedeckt. Die Zeile mit dem Eingang (2nJ
enthält in der Spalte mit dem Eingang (2uJ die Primteiler der
Zahl + 2w^; das Pluszeichen gilt, wenn x>2, das Minuszeichen,
wenn ist. Mithin enthält, dieselbe Zeile in der Spalte mit