Störungstheorie der Planeten der Jupitergruppe. (A. 16) 9
Solange 2 und Z klein oder nur mäßig groß sind, ist die Diffe-
renz r —F klein von der Ordnung des Produkts der Neigungen r
und Z. Aus dem von dem Trojaner, dem Jupiter und dem Schnitt-
punkt ihrer Bahnen gebildeten sphärischen Dreieck folgt nun, in-
dem der sphärische Abstand der beiden Planeten gleich dem Win-
kel F ist, daß
cosF = cos(u —ir) cos(F—F) + sin(u —r) sin(F—r')cos7, resp.
= cos (u—F+F—*r) —2sin(u —r) sin(F—F) sin" 7/2,
wo der 2. Term der rechten Seite als von der 2. Ordnung der
gegenseitigen Neigung 7 als Zusatzterm zum ersten zu betrachten
ist. Bezeichnen weiter 2 und 2' die mittleren Längen des Trojaners
und des Jupiter, ?/ und ?/' die entsprechenden Mittelpunktsglei-
chungen, sodaß
, ^ = 2 + ?/ , [ F— -r = R i 4.4. -u
ld) ^ A , so wird, wenn noch , gesetzt wird:
^ ] z? = / + ?/ ' [ r + 7r = nr ^
cosT = cos(2—2'+0'r) [cos?/ cos?/' + sin?/ sin?/]
— sin (2 — 2' + R F [sin ?/ cos y — cos ?/ sin ?/']
— sin'^ 7/2 [sin (2 + 2 — or) + sin (2 — 2'+ zl r)] cos ?/ sin y'
— sin^ 7/2 [— cos (2 + 2'— crr) + cos (2 — 2'+ 0 r)] cos ?/ cos y'
— snF 7/2 [+ sin (2 + 2'— ur) — sin (2 — Z+ zl r)] sin ?/ cos ?/'
— sin" 7/2 [+ cos (2 + 2'— er) + cos (2 — 2'+ J r)] sin ?/ sin y' .
Für die Funktionen siny, cos?/, siny' und cos?/' sind die nach
BsssEL sehen Funktionen der Exzentrizitäten fortschreitenden
FouRiER-Reihen nach den mittleren Anomalien T2 und 37' zu sub-
stituieren; setzen wir wieder e = 2% und e'=2x', so ist nach den
Untersuchungen von Lu VERRiER in den )>Annales de Tobservatoire
de Paris«, Bd. 1, S. 346, bis zu den Gliedern 4. Grades ein-
schließlich :
sm ?/ = (4 % —10 sin 21f + (5 — 82^ sin 2 212 + ^^3 sin 3 212
+ ^^^6 sin 4T2
cos?/ = 1 —4%^ + ^^ —10^cos212 + (4^ —^/3Z^)cos2d7
+ 10^cos3T2 + ^^/^z^cos4zl2.
Folglich wird, da 212=2 —0,212= 2—O':
16) cosF=cos(2 —Z+/l-r) + 7?,
14)
Solange 2 und Z klein oder nur mäßig groß sind, ist die Diffe-
renz r —F klein von der Ordnung des Produkts der Neigungen r
und Z. Aus dem von dem Trojaner, dem Jupiter und dem Schnitt-
punkt ihrer Bahnen gebildeten sphärischen Dreieck folgt nun, in-
dem der sphärische Abstand der beiden Planeten gleich dem Win-
kel F ist, daß
cosF = cos(u —ir) cos(F—F) + sin(u —r) sin(F—r')cos7, resp.
= cos (u—F+F—*r) —2sin(u —r) sin(F—F) sin" 7/2,
wo der 2. Term der rechten Seite als von der 2. Ordnung der
gegenseitigen Neigung 7 als Zusatzterm zum ersten zu betrachten
ist. Bezeichnen weiter 2 und 2' die mittleren Längen des Trojaners
und des Jupiter, ?/ und ?/' die entsprechenden Mittelpunktsglei-
chungen, sodaß
, ^ = 2 + ?/ , [ F— -r = R i 4.4. -u
ld) ^ A , so wird, wenn noch , gesetzt wird:
^ ] z? = / + ?/ ' [ r + 7r = nr ^
cosT = cos(2—2'+0'r) [cos?/ cos?/' + sin?/ sin?/]
— sin (2 — 2' + R F [sin ?/ cos y — cos ?/ sin ?/']
— sin'^ 7/2 [sin (2 + 2 — or) + sin (2 — 2'+ zl r)] cos ?/ sin y'
— sin^ 7/2 [— cos (2 + 2'— crr) + cos (2 — 2'+ 0 r)] cos ?/ cos y'
— snF 7/2 [+ sin (2 + 2'— ur) — sin (2 — Z+ zl r)] sin ?/ cos ?/'
— sin" 7/2 [+ cos (2 + 2'— er) + cos (2 — 2'+ J r)] sin ?/ sin y' .
Für die Funktionen siny, cos?/, siny' und cos?/' sind die nach
BsssEL sehen Funktionen der Exzentrizitäten fortschreitenden
FouRiER-Reihen nach den mittleren Anomalien T2 und 37' zu sub-
stituieren; setzen wir wieder e = 2% und e'=2x', so ist nach den
Untersuchungen von Lu VERRiER in den )>Annales de Tobservatoire
de Paris«, Bd. 1, S. 346, bis zu den Gliedern 4. Grades ein-
schließlich :
sm ?/ = (4 % —10 sin 21f + (5 — 82^ sin 2 212 + ^^3 sin 3 212
+ ^^^6 sin 4T2
cos?/ = 1 —4%^ + ^^ —10^cos212 + (4^ —^/3Z^)cos2d7
+ 10^cos3T2 + ^^/^z^cos4zl2.
Folglich wird, da 212=2 —0,212= 2—O':
16) cosF=cos(2 —Z+/l-r) + 7?,
14)