Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

10 (A. 17)

Leo KOEKIGSBERGER:

nur, wenn pg=pg = -.- = p^c=0 sind, muß die Bedingung p+miPi>mi
hinzutreten, welche wiederum allgemein erfüllt ist, wenn Pi>l,
oder wenn Pi = l oder =0 ist, die Werte p>l oder p>m, er-
fordert.
Nehmen wir nun an, daß
1. m^-pM^, also 0(L) = m^ist,
so wird, da dann auch 0 (R) = m^ sein muß, a^ = a^ = - - - = ap = 0
sein müssen, und somit die Differentialgleichung (15) die Form
annehmen:
(i 7) u - Mi xi = au"^ + ^ AiF x^x^... ,
>mi
und sich zugleich die Ordnungszahl mi von Xi als ganze
Zahl ergeben; Dt jedoch
H. uii = Mi, wofür Mi reell und positiv sein muß,
so wird die linke Seite dieser Differentialgleichung eine Ordnungs-
zahl besitzen, welche größer als Mi ist, und diese somit, da dann
a = 0 sein muß, die Form haben:
(18) u A' -M,x, = XAu'*fn-...,
du >n,
ohne daß sich zunächst im allgemeinen über die Natur der Ord-
nungszahl etwas bestimmtes aussagen läßt.
Umgekehrt ist ersichtlich, daß für eine Differentialgleichung
(17) von der Form
(19) u ^ ^ — M, x, = a t O l- y A rF xp xp ... ,
in welcher a+0 und x eine positive ganze Zahl ist, O(R) also auch
0(L) = 7r ist, und somit, wenn die der Voraussetzung nach existie-
rende Ordnungszahl von Xi mit mi bezeichnet wird, also die nied-
rigste u-Potenz auf der linken Seite der Gleichung durch das
Glied definiert ist: